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Niveau seconde
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probleme qui doi etre resolu en moin d une heure svp

Posté par xav (invité) 30-01-03 à 21:44

ABCD est un tretraedre regulier en verre
  dont les arêtes mesurent 3cm
On appelle I le milieu de [AB] et J le m
ilieu de [CD]
Une fourmi se deplace sur les faces de c
e tretraedre elle va de I a J et son che
min coupe l'arete [BC] au point P
Quelle est la position du point P sur BC
  pour que la longueur du trajet de la fo
urmi soit minimale? Quelle est la longue

Posté par Guillaume (invité)re : probleme qui doi etre resolu en moin d une heure svp 30-01-03 à 22:34

une réponse toute simple est la suivante, par contre ce n'est
peut etre pas celle que tu attend:

si tu "deplie " ton tetraedre regulier, tu obtient 4 triangles equilateraux
collés les uns aux autres.
ABCD est alors un parallelogramme, le chemin le plus court entre deux
points I et J est biensur la droite, ce qyui fait que P , le point
optimal, est le mileu de BC et tu vois immediatement, par "translation"
que la longeur est 3 cm, coté du tetraedre.


autre explication avec un repere:
tu prend les cordonnées de tous les points (a est le coté)
A(0,0,0)
C(a,0,0)
B(a/2,racine(3)*a/6,3a/4)
D(a/2,racine(3)*a/2,0)
d'ou
I(a/4,racine(3)a/12,3a/8)
J(3a/4,racine(3)a/4,0)
P(k*a+(1-k)a/2,(1-k)racine(3)a/6,(1-k)3a/4) k dans [0.1]

tu calcule IP+PJ=racine(somme coordonnées de IP au carré)+racine(somme
coordonnées de PJ au carré)...longueur classique
et tu minimise la fonction obtenue en k (en derivant)
tu trouvera un minimum pour k=1/2



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