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Problème sphère

Posté par
lrs2020 07-02-21 à 17:55

Bonjour, pourriez vous m'aider à résoudre mon exercice de géométrie dans l'espace  ?

66. Déterminer l'équation de la sphère passant par le point P(2;-1;1) et qui contient le cercle donné par le système d'équations:

\left\lbrace\begin{matrix} x^2 +y^2 +z^2 -2x +3y -6z -5 = 0 \\ 5x - 2y -z -3 = 0 \\ \end{matrix}\right.

Merci beaucoup pour votre aide

Posté par
malou Webmasterre : Problème sphère 07-02-21 à 18:08

Bonjour
tu pourrais tirer z de la 2e ligne et reporter dans la 1re

Posté par
malou Webmasterre : Problème sphère 07-02-21 à 18:18

mouais, bof...
attendre une autre idée peut-être

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Problème sphère 07-02-21 à 18:28

Bonjour,
Je propose d'utiliser une figure sans repère.
Un plan, un cercle de centre J dans ce plan et un point P à l'extérieur du plan.
Le centre K de la sphère est sur la droite perpendiculaire au plan issue de J.
Et il vérifie aussi KM = KP où M est un point quelconque du cercle.

Je n'ai pas fait les calculs ; mais ce sont les 1ères idées qui me viennent

Posté par
mathafou Moderateurre : Problème sphère 07-02-21 à 18:34

Bonjour,

@malou hum ... on obtient l'équation d'un cylindre d'axe parallèle à l'axe des ordonnées, et à base elliptique ... et on en fait quoi ?


le système d'équations représente l'intersection d'une sphère (la 1ère équation ) et d'un plan (la deuxième)

on peut donc en extraire le centre de cette sphère là et la normale au plan issue de ce centre

Problème sphère

la sphère cherchée aura pour centre un point de cette normale et ce point doit être à égale distance d'un point quelconque choisi du cercle et de A ...
(par exemple fixer z = 0, ou autre chose, et résoudre le système en x,y pour avoir un tel point)

à toi de commencer à faire les calculs correspondants. (c'est du niveau)

(autre méthode mais à mon avis complètement hors programme : considérer le faisceau des sphères admettant ce cercle comme cercle de base, les calculs deviennent quasi instantanés)

Posté par
mathafou Moderateurre : Problème sphère 07-02-21 à 18:36

edit
et de P, le point donné s'appelle P, pas A

Posté par
malou Webmasterre : Problème sphère 07-02-21 à 18:42

oui, oui...j'ai reculé bien vite quand j'ai vu ce qui se passait

Posté par
FerreSucrere : Problème sphère 07-02-21 à 19:20

Il est dur cet exercice oO x) je suis en terminale aussi ducoup j'essaye de le faire mais bon ..., petite question on trouve le vecteur normal au plan (assez simple) ensuite il nous faut le centre du cercle formé par le système ? puis Équation paramétrique d'une droite ?

C'est ce qu'il faut faire pour commencer ? ^^merci

Posté par
mathafou Moderateurre : Problème sphère 07-02-21 à 19:28

le centre de la sphère est bien plus facile à obtenir que le centre du cercle ! y a ka lire l'équation !
relire ce que j'ai écrit :, le centre du cercle ne sert à rien dans les calculs proposés

par contre trouver un point quelconque fixé du cercle est calculatoirement pénible ...
l'intersection proposée de ce cercle avec le plan z = 0 donne des racines carrées pas sympa du tout
je n'ai pas encore cherché un autre point plus commode ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Problème sphère 07-02-21 à 19:28

En fait, le centre J du cercle n'est pas nécessaire.
Il suffit de trouver le centre de la sphère d'équation \; x^2 +y^2 +z^2 -2x +3y -6z -5 = 0 .

Posté par
mathafou Moderateurre : Problème sphère 07-02-21 à 19:36

grace à Géogebra j'en ai trouvé un à coordonnées entières, de cote z = 2 ...

Posté par
mathafou Moderateurre : Problème sphère 07-02-21 à 19:39

ou z = -1 est encore plus simple

Posté par
FerreSucrere : Problème sphère 07-02-21 à 19:40

Le centre de la sphère on a :

x²+y²+z²-2x+3y-6z-5 = 0 \Leftrightarrow (x-1)²-1 + (y-1.5)² - 2.25 + (z-3)² - 9 -5 = 0 \Leftrightarrow (1-x)² + (1.5-y)² + (3-y)² = 17.25

donc centre de la sphère \Omega(1,\dfrac{3}{2}, 3) ?

Posté par
FerreSucrere : Problème sphère 07-02-21 à 19:47

En suite je prend le vecteur normal du plan ?

\vec{n}(5,-2,1)

\forall{t} \in \R : \begin{cases} x = 1 + 5t \\ y = -2 + 1.5t \\ z = 1 + 3t \end{cases}

je sais pas si ça va servir mais comme j'ai pas beaucoup de temps j'avance.

Posté par
mathafou Moderateurre : Problème sphère 07-02-21 à 19:48

erreur de signe. edit : sur

Posté par
FerreSucrere : Problème sphère 07-02-21 à 19:49

j'ai tout inversé :

En suite je prend le vecteur normal du plan ?

\vec{n}(5,-2,1)

\forall{t} \in \R : \begin{cases} x = 1 + 5t \\ y = 1.5 -2t \\ z = 3 + t \end{cases}

je sais pas si ça va servir mais comme j'ai pas beaucoup de temps j'avance.

Posté par
FerreSucrere : Problème sphère 07-02-21 à 19:52

Oui en plus je me suis trompé sur omega  je vais manger , il faut faire quoi ensuite ?

Posté par
mathafou Moderateurre : Problème sphère 07-02-21 à 19:56

oui (après correction de l'erreur)

donc on sait maintenant que le centre de la sphère cherchée a ces coordonnées là, fonction de l'inconnue t.

relire la suite du plan d'action ...
il faut trouver un point du cercle, n'importe lequel, de préférence avec des coordonnées simples (relire mes derniers messages)

Posté par
FerreSucrere : Problème sphère 07-02-21 à 20:03

Le point (3,2,2) appartient à la sphère ?

Posté par
FerreSucrere : Problème sphère 07-02-21 à 20:07

\vec{n}(5,-2,1)

\forall{t} \in \R : \begin{cases} x = -1 + 5t \\ y = -1.5 -2t \\ z = -3 + t \end{cases}

Avec P(2,-1,1), et K(3,2,2) \in \S (S la sphère) ?

Posté par
mathafou Moderateurre : Problème sphère 07-02-21 à 20:17

toujours des erreurs (sur )

et K un point du cercle
dont les coordonnés satisfont aux deux équations données.
(3, 2,2 ) ne satisfait pas à 5x - 2y -z -3 = 0
(pas vérifié non plus s'il était vraiment sur la sphère donnée)

ce n'est pas par divination ou au pif
c'est en résolvant le système , avec une des 3 valeurs, x, y ou z fixée "arbitrairement"

Posté par
FerreSucrere : Problème sphère 07-02-21 à 20:18

Donc :

Centre de la sphère G(x,y,z) :

\forall{t} \in \R : \begin{cases} x = -1 + 5t \\ y = -1.5 -2t \\ z = -3 + t \\ (2-x)² + (-1-y)² +(1-z)² - r² = 0 \\ (3-x)^2 + (2-y)^2 + (2-z)^2 - r^2 = 0 \end{cases}

Ducoup on peut poser ça comme système ?

je crois que j'ai déjà mal compris l'énoncé , quand on dit la sphère contient le cercle formé par ce sytème, c'est à dire que le cercle est dans la sphère ? Ou tout le cercle doit vérifier l'équation de la sphère (les solutions du cercle sont aussi solutions de la sphère) ?

Posté par
FerreSucrere : Problème sphère 07-02-21 à 20:29

Petite erreur d'inattention effectivement je sais pas pourquoi j'ai pris juste l'equa de la sphere

Posté par
FerreSucrere : Problème sphère 07-02-21 à 20:58

Ok bon je repart de 0 :

x²+y²+z²-2x+3y-6z-5 = 0 \Leftrightarrow (x-1)²-1 + (y+1.5)² - 2.25 + (z-3)² - 9 -5 = 0 \Leftrightarrow (x-1)² + (y+1.5)² + (y-3)² = 17.25

Soit le centre de la sphère \Omega(1,-\dfrac{3}{2},3})
Et \vec{n}(5,-2,1) est normal au plan d'équation P : 5x-2y-z-3 = 0

On a donc une droite d'équation paramétrique passant par le centre du cercle et de la sphère :

\forall{t} \in \R : \begin{cases} x = 1 + 5t \\ y = -1.5 -2t \\ z = 3 + t \end{cases}

Soit K(x,y,z) appartenant au cercle représenté par ce système :

\left\lbrace\begin{matrix} x^2 +y^2 +z^2 -2x +3y -6z -5 = 0 \\ 5x - 2y -z -3 = 0 \\ \end{matrix}\right.

Donc K vérifie :

26x²-20xy -62x + 5y² +27y +22 = 0

K(0,-1,z) vérifie cette équation,

z = 5x-2y-3 \Leftrightarrow z = -1

On a K(0,-1,-1) qui appartient au cercle.

On peux donc poser :

\forall{(t,y,x,z,r} \in \R^4,R_{+}^{*} : \begin{cases} x = 1 + 5t \\ y = -1.5 -2t \\ z = 3 + t \\ (2-x)² + (-1-y)² +(1-z)² - r² = 0 \\ x^2 + (-1-y)^2 + (-1-z)^2 - r^2 = 0 \end{cases}

Jusqu'ici c'est correct ? ^^

Posté par
FerreSucrere : Problème sphère 07-02-21 à 21:23

\forall{(t,y,x,z,r)} \in \R^4,\R_{+}^{*} : \begin{cases} (2-x)² + (-1-y)² +(1-z)² - r² = 0 \\ x^2 + (-1-y)^2 + (-1-z)^2 - r² = 0 \\ x = 1 + 5t \\ y = -1.5 -2t \\ z = 3 + t  \end{cases}

\Leftrightarrow \begin{cases} (2-x)² + (-1-y)² +(1-z)² - r² = 0 \\ x² - (2-x)² + (-1-y)² - (-1-y)^2 + (-1-z)² -(1-z)² - r² + r² = 0 ,  L_2-L_1 \to L_2 \\ x = 1 + 5t \\ y = -1.5 -2t \\ z = 3 + t  \end{cases}

\Leftrightarrow \begin{cases} (2-x)² + (-1-y)² +(1-z)² - r² = 0 \\ 4x-4 + 4z = 0  \\ x = 1 + 5t \\ y = -1.5 -2t \\ z = 3 + t  \end{cases}

\Leftrightarrow \begin{cases} (2-x)² + (-1-y)² +(1-z)² - r² = 0 \\ x = 1 + 5t \\ y = -1.5 -2t \\ z = 3 + t\\ t  = \dfrac{-1}{2}  \end{cases}

\Leftrightarrow \begin{cases} (2-x)² + (-1-y)² +(1-z)² - r² = 0 \\ x = -1.5 \\ y = -0.5 \\ z = 2.5 \\ t  = \dfrac{-1}{2}  \end{cases}

\Leftrightarrow \begin{cases} r² = 26.75 \\ x = -1.5 \\ y = -0.5 \\ z = 2.5 \\ t  = \dfrac{-1}{2}  \end{cases}

Donc l'équation de la sphère S qui contient le cercle, et qui passe par P(2,-1,1) est :

S : (x+1.5)² + (y+0.5)² + (z-2.5)² - 26.75 = 0

Est-ce correct ? merci

Posté par
mathafou Moderateurre : Problème sphère 07-02-21 à 21:25

jusqu'à ta dernière monstruosité, oui

\Omega(1,-\dfrac{3}{2},3}) OK
Et \vec{n}(5,-2,1) est normal au plan d'équation P : 5x-2y-z-3 = 0 OK

On a donc une droite d'équation paramétrique passant par le centre du cercle et de la sphère :

\forall{t} \in \R : \begin{cases} x = 1 + 5t \\ y = -1.5 -2t \\ z = 3 + t \end{cases} OK

Soit K(x,y,z) appartenant au cercle représenté par ce système :

\left\lbrace\begin{matrix} x^2 +y^2 +z^2 -2x +3y -6z -5 = 0 \\ 5x - 2y -z -3 = 0 \\ \end{matrix}\right.

Donc K vérifie :

26x²-20xy -62x + 5y² +27y +22 = 0 mouais (pas vérifié ce truc, vu que j'ai fait autrement)


K(0,-1,z) vérifie cette équation, Oui

z = 5x-2y-3 \Leftrightarrow z = -1

On a K(0,-1,-1) qui appartient au cercle. OK

On peux donc poser : quelle horreur !

on écrit que G(1 + 5t; -1.5 -2t; z = 3 + t)
est à égale distance de P(2;-1;1) et de K(0,-1,-1), que GP = GK

UNE équation en t à résoudre (du premier degré après simplification)

donc les coordonnées (numériques) de G, puis la valeur (numérique) du rayon GP, et l'équation de la sphère cherchée
Terminé

Posté par
FerreSucrere : Problème sphère 07-02-21 à 21:27

Bon bah j'ai eu ma réponse en allant sur géogebra et en mettant P(2,-1,1) et l'équation cartésienne, j'ai du faire une érreur mdr j'en peux plus, est-ce dans le système à 5 équations ?

Posté par
FerreSucrere : Problème sphère 07-02-21 à 21:32

D'accord GP = GK, ça revient pas un peu à mon système ? J'ai tenté une combinaison linéaire mais je savais pas trop si j'avais je droit, ça supprimait 2 variables en même temps ?

Posté par
mathafou Moderateurre : Problème sphère 07-02-21 à 21:32

résultat final faux (des erreurs de calculs sont bien trop facile à faire dans un truc aussi compliqué que ta méthode ! et rend impossible la détection de à quel endroit elles sont)

Posté par
mathafou Moderateurre : Problème sphère 07-02-21 à 21:36

et les messages croisés n'arrangent pas la discussion si tu dis des tas de trics pendant que je tape ...

remplacer une équation par un système monstrueux m...ique, c'est ton choix
on voit le résultat..

Posté par
mathafou Moderateurre : Problème sphère 07-02-21 à 21:41

sur ce pour moi c'est dodo.

Posté par
Priamre : Problème sphère 07-02-21 à 22:18

Bonsoir,
Je pense avoir résolu le problème en écrivant l'équation des sphères passant par le cercle défini dans l'énoncé :
x² + y² + z² - 2x - 3y - 6z - 5 + (5x - 2y - z - 3) = 0
et en calculant le paramètre qui correspond à la sphère passant par le point P.

Posté par
FerreSucrere : Problème sphère 07-02-21 à 22:24

ça va ça va modère x), je fais tellement d'erreur sur ce site car j'écrit tout à la main en latex directement comme ça : \dfrac{..}{..} \lim_{x \to \infty} ...

D'ailleurs tu vas rire jpp, mon erreur c'était pour trouver r² avec la calculatrice j'ai oublié un "-" à un moment ...

\Leftrightarrow \begin{cases} r² = 14.75 \\ x = -1.5 \\ y = -0.5 \\ z = 2.5 \\ t  = \dfrac{-1}{2}  \end{cases}

Donc l'équation de la sphère S qui contient le cercle, et qui passe par P(2,-1,1) est :

S : (x+1.5)² + (y+0.5)² + (z-2.5)² - 14.75 = 0

là ça doit fonctionner normalement ! bon au moins j'suis rassuré c'était une erreur avec la calculatrice mdr. J'admet que le système à 5 équations est peut-être légèrement abusé xDD j'aurais du rédiger comme tu me l'as dit ^^, une combinaison linéaire L2-L1-> L2 et juste remplacer avec G(..t, ..t, ...t) et en. 3 ligne c'était plié sans erreur.

Posté par
FerreSucrere : Problème sphère 07-02-21 à 22:27

ça c'est parce que j'ai pas utilisé ma Casio fx 92 collège :/, y'a pas mieux comme calculatrice, j'ai voulu faire le malin avec une numworks en ligne... , même si tu n'es plus là bonne nuit et bonne journée quand tu le liras.

Posté par
carpediemre : Problème sphère 08-02-21 à 09:31

salut

en passant :

mathafou @ 07-02-2021 à 21:25

Et \vec{n}(5,-2,1) est normal au plan d'équation P : 5x-2y-z-3 = 0 OK
non pas ok ...



je m'en vais vu la monstruosité des calculs ...

Posté par
mathafou Moderateurre : Problème sphère 08-02-21 à 10:27

bonjour carpediem

c'est vrai qu'une simple erreur de signe qui traine depuis le début impose de refaire tous les calculs (enfin pas tous tous, mais une bonne partie)

en particulier à cause de cette erreur le résultat de FerreSucre est toujours faux

"vu la monstruosité des calculs ..."
oui, un calculateur formel évite de recopier de travers une ligne précédente ou de faire une erreur d'inattention dans un développement voire même dans une simple addition ...

pour conforter le résultat on peut utiliser Geogebra 3D pour obtenir par construction géométrique (de centres d'objets, de droites et de plans et d'intersections) directement les coordonnées correctes du centre cherché et l'équation correcte de la sphère cherchée
mais bien entendu ce n'est pas les calculs, en particulier il n'y a pas que une équation possible pour un plan et donc le résultat de Géogebra est méconnaissable

ceci dit :

mathafou @ 07-02-2021 à 18:34

...(autre méthode mais à mon avis complètement hors programme : considérer le faisceau des sphères admettant ce cercle comme cercle de base, les calculs deviennent quasi instantanés)
j'en parlerai plus tard en exposant la méthode sans parler de faisceaux de sphères vu que ça n'existe pas dans le programme

la méthode choisie jusqu'à présent était un peu ce qui "tombe sous le sens" d'un point de vue vraiment géométrique (en parlant de centres, de la ligne des centres, de point sur le cercle, de distance etc)
l'autre méthode est purement algébriquement abstraite.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Problème sphère 08-02-21 à 11:22

De retour,
Moi aussi la monstruosité des calculs m'a rebutée...
Il me semble que la seule difficulté est de trouver un point simple du cercle.
Une fois trouvé, par exemple K(0,-1,-1), trouver le centre G de la sphère n'est plus très calculatoire :
G (1+5t, -(3/2)-2t, 3-t) avec t réel.
Ecrire GP2 = GK2 permet de trouver t.

En fait, ça revient à chercher l'intersection de l'axe du cercle avec le plan médiateur de [PK].

Posté par
FerreSucrere : Problème sphère 08-02-21 à 11:51

Oh zut alors c'est pas possible je suis aveugle mdrrr :


\forall{(t,y,x,z,r)} \in \R^4,R_{+}^{*} : \begin{cases} x = 1 + 5t \\ y = -1.5 -2t \\ z = 3 -t \\ (2-x)² + (-1-y)² +(1-z)² - r² = 0 \\ x^2 + (-1-y)^2 + (-1-z)^2 - r^2 = 0 \end{cases}

\Leftrightarrow \begin{cases} r² = \dfrac{249}{8} \\ x = -\dfrac{11}{4} \\ y = 0 \\ z = \dfrac{15}{4} \\ t  = \dfrac{-3}{4}  \end{cases}

Donc l'équation de la sphère S qui contient le cercle, et qui passe par P(2,-1,1) est :

S : (x+\dfrac{11}{4})² + y² + (z-\dfrac{15}{4})² - \dfrac{249}{8} = 0

J'ai réécrit les systèmes car je voulais juste faire un copier coller ... dsl

Dites moi que c'est le bon résultat mdrr

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Problème sphère 08-02-21 à 11:58

Oui, c'est bon

Posté par
FerreSucrere : Problème sphère 08-02-21 à 12:00

Enfin :'( :'), la prochaine fois que j'ai un DS j'vais faire un temps d'arrêt à chaque question pour vérifier  si y'a pas d'erreur sinon je serai foutu... merci en tout cas

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Problème sphère 08-02-21 à 12:02

Essaye plutôt d'éviter ces systèmes monstrueux

Posté par
FerreSucrere : Problème sphère 08-02-21 à 12:06

Ouais aussi xD mais juste une question quand on dit la sphère contient le cercle, on veut dire que les solutions du cercles sont aussi toutes solutions de la sphère comme pour ce cas là ou ça peut aussi vouloir dire le cercle est dans la sphère ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Problème sphère 08-02-21 à 12:23

Pour désigner l'intérieur d'une sphère, il y a un mot : boule.
On parle de boule ouverte ou fermée dont la frontière est une sphère.
Par exemple, le volume d'un boule de rayon r est 4r3/3.

Quand tu écris "dans la sphère", tu veux sans doute dire "à l'intérieur de la sphère".
Ce ne peut pas être la question posée car il y aurait plusieurs réponses possibles (une infinité en fait).
Dans l'énoncé, est écrit : " Déterminer l'équation de la sphère ".
Par ailleurs, je ne suis pas d'accord avec le " l' " devant "équation".
Car une sphère a une infinité d'équations.
De même, une droite a une infinité de vecteurs normaux ; donc ne pas écrire " le vecteur normal de ... ", mais " un vecteur normal de ... "

Posté par
FerreSucrere : Problème sphère 08-02-21 à 12:30

Oui une équation * c'est comme les primitives.... x) d'accord je me disais bien aussi que y'avais une infinité de solutions si c'était à l'intérieur de la sphère donc ça m'aurait paru étrange.

Merci à toi et aux autres en tout cas, bonne journée

Posté par
mathafou Moderateurre : Problème sphère 08-02-21 à 12:30

on veut dire que les solutions du cercles sont aussi toutes solutions de la sphère
"solutions d'un cercle ??? ne veut rien dire.

on veut dire que tous les points du cercle sont des points de la sphère (à la surface pour insister)
(ne pas confondre cercle et disque, ne pas confondre sphère et boule)


et maintenant comme annoncé la "façon simple" :

je vais introduire quelques notations pour éviter de trainer des formules à rallonge.

le cercle est défini par

\left\{\begin{array}l S : f(x,y,z)=0 \\ \Pi : h(x,y,z)=0\end{array}\right.

f(x,y,z) = x^2+y^2+z^2-2x+3y-6z-5, et f(x,y,z) = 0 est l'équation, de la sphère S
et h(x,y,z)=5x-2y-z-3, et h(x,y,z) = 0 celle du plan \Pi

ce système est équivalent à

\left\{\begin{array}l S : f(x,y,z) + \lambda h(x) =0 \\ \Pi : h(x,y,z)=0\end{array}\right.
quel que soit \lambda de

mais f(x,y,z) + \lambda h(x) =0 est l'équation d'une sphère :
les termes en x²+y²+z² inchangés et seuls les termes en x, y, z et constant varient

cette sphère là contient bien entendu le cercle donné ! (puisque les deux systèmes sont équivalents) et donc existe toujours quel que soit \lambda vu que l'énoncé n'est pas sensé être une entourloupette avec un cercle donné qui n'existerait pas !

il suffit donc de résoudre l'équation du premier degré en l'inconnue \lambda obtenue en écrivant que la sphère d'équation f(x,y,z) + \lambda h(x) =0 contient P(2; -1; -1) et le tour est joué.

(sans parler car c'est hors programme de ce que l'ensemble des sphères S_\lambda forment un faisceau etc ...)

Posté par
mathafou Moderateurre : Problème sphère 08-02-21 à 12:35

(en relisant la discussion en entier je vois que cette idée était mentionnée par Priam le 07-02-21 à 22:18)

Posté par
FerreSucrere : Problème sphère 08-02-21 à 12:36

Oui les solutions du système ... qui forme un plan ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Problème sphère 08-02-21 à 14:28

Si tu recherches un exercice d'arithmétique pas immédiat, tu peux jeter un œil ici :
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