Voila, j'ai un exo de maths a faire mais je ne comprends pas vraiment tous. Voila mon exo:
Nous admettrons qu'il existe une fonction f, définie et dérivable sur p, et vérifiant: f(0)=0 et, pour tout réel x, f'(x)=1/(1+x²)
1- Montrer que la fonction g: xf(x) + f(-x) est dérivable sur p et calculer sa dérivée:
Pour tout réel x, f étant dérivable sur p alors f(-x) est dérivable sur p, donc g(x) l''est aussi. Pour la dérivée, je trouve: g'(x)=f'(x) + f'(-x)=1/(1+x²) + 1/(1+(-x)²)=2f'(x), non??
calculer ensuite g(0) et en déduire que la fonction f est impaire:
g(0)= 0, par contre je ne vois pas comment montrer que f(-x)=-f(x), faudrait il démontrer que la fonction g est cstte et vaut toujours 0?
2-mntrer que la fonction h(x)= f(x)+f(1/x) est dérivable sur ]0,+[ et calculer sa dérivée:
Pour Dh, je ne vois pas mais peut etre que le fait que f'(x) soit toujours positif ait un rapport, non? Pour la dérivée, on a h'(x)=1/(1+x²) + 1/(1+(1/x²))=1/(1+x²) + x²/(x²+1).
Ensuite, il faut en déduire qu'il existe une cstte c telle que, pour tout x 0, on ait f(x)= c -f(1/x).
A l'aide de cette expression, prouver que lim f(x) = c  quand x +.
Merci beaucoup de votre aide, bonne soirée a tous,
Bboy