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problème sur fonction dérivée svp aidez-moi!
en fait C un problème avec statue de la liberté mé je vais pas tou
vous dire juste ce qu'il faut savoir.
On sait que tan A(x)=295/x; tan B(x)=145/x
T(x)=A(x)-B(x)
On sait aussi que tan T(x)=150x/(x*2+42775)
On pose f(x)=tan T(x).
On doit monter que f est dérivable sur o;+l'infini (intervalle
ouvert) ce que je n'arrive pas à faire. et donner sa fonction
dérivée. J'ai trouver [1+(tan T(x))*2](T'(x)) grace aux
fonctions composées,donc jusque là ca va.
mais ensuite il demande de déduire que
[1+(tan T(x))*2](T'(x))=(150(42775-x*2))/(x*2+42775)*2 voila mon problème
j'arrive pas à montrer ca. J'ai remplacer tan T(x) par
l'expression kon nous donne mais par contre j'ai pas d'expression
de T'(x) donc je sais pas par quoi le remplacer!
voilà, s'il vous plaît aidez-moi car je sais vraiment pas quoi faire
pour déduire leur truc!
tu peux ecrire T(x)= tan^(-1) [150x/(x²+42775)]
et par composition de fonctions:
d'ou T'(x)=
[150x/(x²+42775)]' * tan^(-1)' (150x/(x²+42775))
le derivée de la reciproque est (ca tu dois connaitre):
f^(-1) ' = 1 / f'°f^(-1)
si on applique avec f=tan(x)
ca donne
tan^(-1) ' = 1/ (1+tan(x)²)°tan^(-1) = 1/(1+x²)
donc finalement
T'(x)=
[150x/(x²+42775)]' * 1/ (1+(150x/(x²+42775))²)
dans ta formule quand tu multiplie par
1+tan(T(x))²=1+(150x/(x²+42775))²
un gros morceaux s simplifie
il reste
(1+tan((T(x))²)T'(x)=[150x/(x²+42775)]'
=150(x²+42775)-150x*2x / (x²+42775)²
=150(42775-x²) / (x²+42775)²
ce qu'on cherchait ouf!
récris si c pas clair
A+
Merci Guillaume je vais faire comme tu as dis et si je comprend pas
je réécrirai ..
Merci bcp à toi !
Excuse moi Guillaume, mais à mon avis si Didoune est en terminale
en France, il ne connaît pas la dérivée de la réciproque.Et de ttes
façons c'est très simple ainsi :
Si tan T(x)=150x/(x*2+42775) et f(x)=tan T(x)
alors f(x) = 150x/(x*2+42775)
f est dérivable sur 0; + inf car x²+42775 ne s'annule pas (et
qu'une fonction rationnelle est dérivable sur son ensemble de
définition)
f'(x) = -150(x²-42775)/(x²+42775)² ( u'v-uv'/v² classique)
ou encore f'(x) = 150(42775-x²)/(x²+42775)² (pour la fin)
Mais comme f(x)=tan T(x), par composée, comme tu l'as trouvé didoune,on
a f'(x) = [1+(tan T(x))*2](T'(x)) (t'avais fait le
plus dur en fait)
et donc 150(42775-x²)/(x²+42775)²=[1+(tan T(x))*2](T'(x))
ce qui était demandé
f(x) est dérivable sur R si lim(h -> 0) [(f(x+h) - f(x))/h] existe
pour tout x de R.
On donne :
tan T(x)=150x/(x*2+42775)
et
f(x)=tan T(x).
->
f(x) = 150x/(x*2+42775)
Dérivabilité:
f(x+h) = 150(x+h)/[(x+h)²+42775]
f(x+h) - f(x) = 150(x+h)/[(x+h)²+42775] - [150x/(x²+42775)]
On réduit au même dénominateur, on développe et simplifie et on trouve:
f(x+h) - f(x) = (42775*150h - 150.hx² - 150h²x)/[((x+h)²+42775). (x²+42775)]
(f(x+h) - f(x))/h = (42775*150 - 150.x² - 150hx²)/[((x+h)²+42775). (x²+42775)]
lim(h -> 0) [(f(x+h) - f(x))/h] = (42775*150 - 150.x²)/[(x²+42775)²]
lim(h -> 0) [(f(x+h) - f(x))/h] = 150(42775 - x²)/[(x²+42775)²]
Cette limite existe sur ]0 ; oo[ et donc f(x) est dérivable sur ]0 ; oo[
f '(x) = 150(42775 - 150.x²)/[(x²+42775)²] (1)
-----------------
f(x)=tan T(x).
f '(x) = T'(x) / cos²(T(x))
Or 1 + tg²(T(x)) = 1 + [(sin²(T(x))/cos²(T(x))] = [cos²(T(x)) + sin²(T(x)]/cos²(T(x))
1 + tg²(T(x)) = = 1 / cos²(T(x)) ->
f '(x) = T'(x)[1 + tg²(T(x))] (2)
(1) et (2) ->
[1 + tg²(T(x))].T'(x) = 150(42775 - 150.x²)/[(x²+42775)²]
-----------------
Corriger le début de ma réponse comme suit:
f(x) est dérivable sur ]0 ; oo[ si lim(h -> 0) [(f(x+h) - f(x))/h] existe
pour tout x de ]0 ; oo[
je ne connaissais pas non , la dérivée de la réciproque, je vais
suivre ce que vous avez dit merci bcp encore une fois
(PS : et pour JP Didoune est une fille lol)
(retour du chipoteur)
excuse moi JP, ton truc c'est parfait mais ça m'étonnerait que
ça soit cela qui est demandé en terminale.
la technique de zlurg est vraiment très simple,j'avais même pas
vu.
Merci a tous ls trois Guillaume,zlurg et J-P, c'est très gentil!
mé G encor une petite question zlurg, pour le domaine de dérivabilité,
tu dit que x²+42775 ne s'annule pas ok; Mé alors S que f est
dérivable sur R? Car ils ont exclu 0 donc jpensais que f n'étais
pas dérivable en 0...
Le chipoteur t'****** Zlurg, il est beau d'affirmer
que "Une fonction rationnelle est dérivable sur son ensemble de
définition".
Affirmation correcte mais gratuite.
Ma solution est la seule rigoureusement correcte et de nouveau
si on ne connait pas cela en terminale, cela va de mal en pis.
oh hé on s'est pas compris JP
le chipoteur c'était moi !
f est définie sur 0 ouvert ; + inf à cause du contexte du problème
( x positif et on divise par x dans 295/x donc x non nul )
mais sinon, la fonction qui à x associe 150x/(x*2+42775)
pourrait être définie sur R
Keep cool 
J-P. Zlurg se qualifiait lui-même de chipoteur ...
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