Bonjour


Question 1



On commence par résoudre l'équation du second degré
Delta = 1+4k  > 0  donc l'équation admet deux solutions réelles distinctes

Le produit des racine est donné par c/a = -k est strictement négatif,
on en déduit que:
1) aucune racine n'est nulle
2) une est négative, l'autre positive


il est facile de revenir à l'équation de départ.

1)



étude du discrimant => 2 racines
produit des racines = (-k) négatif => racines de signe contraire

Beau parallélisme !

à la place de "xneq" lire "x non nul"

merci bien. je vais essayer d'après vos conseils!

Aide pour le début:

1)

fk(x) = 1 + k/x

fk(x) = x -->
1 + k/x = x

x + k = x²
x² - x - k = 0

Posons gk(x) = x²-x-k pour x dans R*
Les solutions de gx(k) = 0 sont les mêmes que celles de fk(x) = x.    (1)

(gk(x))' = 2x-1

(gk(x))' < 0 pour x dans ]-oo ; 1/2[ -> gk(x) est décroissante.
(gk(x))' = 0 pour x = 1/2
(gk(x))' > 0 pour x dans ]1/2 ; oo[ -> gk(x) est croissante.

Il y a un minimum de gk(x) pour x = 1/2, ce min vaut gk(1/2) = (1/4)-(1/2)-k = -((1/4)+k)
Le minimum de gk(x) est donc négatif.

lim(x-> -oo) gk(x) = +oo
lim(x-> +oo) gk(x) = +oo
lim(x->0) gk(x)= -k < 0

On a donc:

a)
Sur ]-oo ; 0[

gk(x) est continue.
gk(x) est décroissante.
lim(x-> -oo) gk(x) = +oo
lim(x->0) gk(x) < 0

Il y a donc 1 et une seule solution à gk(x) = 0 sur ]-oo ; 0[, soit alpha cette solution.  (2)

b)
Sur ]0 ; 1/2]

gk(x) est continue.
lim(x->0) gk(x) < 0
gk(x) est décroissante.
gk(1/2) < 0

Il n'y a donc pas de solution à gk(x) = 0 sur ]0 ; 1/2]

c)
Sur ]1/2 ; oo[

gk(x) est continue.
gk(x) est croissante.
gk(1/2) < 0
lim(x-> +oo) gk(x) = +oo

Il y a donc 1 et une seule solution à gk(x) = 0 sur ]1/2 ; oo[, soit beta cette solution.

on a beta > 1/2 et donc a fortiori beta > 0  (3)
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(1), (2) et (3) -->

L'équation fk(x) = x admet deux solutions alpha et beta telles que :  alpha < 0 < beta.
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Sauf distraction.  

merci a vous j'ai compris le 1). Mais il me reste le 2) où j'ai encore du mal..... Merci de me guider vers la solution !

2)

Il y a une bisbrouille dans l'énoncé.

Tu dis k > 0 et x(0) < 0

Si on choisit par exemple x(0) = -k, on aurait

x(1) = fk(-k) = 1 + k/(-k) = 1 - 1 = 0

et on aurait alors:

x(2) = fk(0) = 1 + (k/0)  et donc x(2) n'existerait pas.

--> Corrige l'énoncé.
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Sauf distraction.  

=> J.P.

c'est joli "bisbrouille", je ne connaissais pas !

merci d'avoir trouvé l'erreur. C'est x₀ > 0.

2)

a)
Avec k > 0 et x > 0, on a 1 + k(x) > 0

Donc si x(n) > 0, on a aussi x(n+1) > 0.
Comme x(0) > 0, x(n) est > 0 quel que soit n de N.

x(n) = 0 est impossible et donc fk(x) est toujours défini et par là x(n) est défini quel que soit n de N.
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b)
comme x(n) > 0 quel que soit n et alpha < 0 , (x(n) - alpha) est strictement positif et donc jamais nul.
--> U(n) est défini quel que soit n.
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c)
U(n) = (x(n) - beta)/(x(n) - alpha))
U(n+1) = (x(n+1) - beta)/(x(n+1) - alpha))
U(n+1) = (1+k/x(n) - beta)/(1+k/x(n) - alpha))
U(n+1) = (x(n)+k - beta.x(n))/(x(n)+k - alpha.x(n)))

U(n+1) = (x(n).(1 - beta) + k)/(x(n).(1 - alpha) + k)

U(n+1) = [(1-beta)/(1-alpha)].[(x(n) + k/(1-beta))/(x(n) + k(1-alpha))]


beta = 1+k/beta

beta² = beta + k
k = beta(beta-1)
-> k/(1-beta) = -beta

on trouve pareil: k/(1-alpha) = -alpha

--> U(n+1) = [(1-beta)/(1-alpha)].(x(n) - beta)/(x(n) - alpha)

U(n+1) = [(1-beta)/(1-alpha)].U(n)

Donc la suite Un est géométrique de raison [(1-beta)/(1-alpha)] et de premier terme U(0) = (x(0)-beta)/(x(0)-alpha)

U(n) = (x(0)-beta)/(x(0)-alpha) * [(1-beta)/(1-alpha)]^n
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U(n) = (x(n) - beta)/(x(n) - alpha))
U(n).x(n) - alpha.U(n) = x(n) - beta

x(n).(U(n) - 1) = alpha.U(n) - beta.
x(n) = ( alpha.U(n) - beta.)/(U(n) - 1)

Et avec U(n) = (x(0)-beta)/(x(0)-alpha) * [(1-beta)/(1-alpha)]^n, il vient:

x(n) = ...
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Sauf distraction ou erreur, vérifie.