pour n>=1, on considere la fonction fn definie sur [0;pi] par :
fn(o)=2n+1
fn(x)=(sin(n+1/2)x)
           -----------------          si xdifferent de 0
                   sin(x/2)
1) montrer que fn est continu sur [0;pi]
2)on pose pour n>=0, In=(integral de 0 a pi) fn(x)*dx
a)verifier l'egalité fn(x)-f(n-1)(x)=2cos(nx)
b)en deduire que la suite (In) est constante et calculer In.

pour n>=1, on considere la fonction fn definie sur [0;pi] par :
fn(o)=2n+1
fn(x)=(sin(n+1/2)x)
           -----------------          si xdifferent de 0
                   sin(x/2)
1) montrer que fn est continu sur [0;pi]
2)on pose pour n>=0, In=(integral de 0 a pi) fn(x)*dx
a)verifier l'egalité fn(x)-f(n-1)(x)=2cos(nx)
b)en deduire que la suite (In) est constante et calculer In.

*** message déplacé ***

Bonjour,


Quelques indications:

1) fn(x) quotient de 2 fonctions continues sur [0;pi]. sin(x)/2 s'annule
pour x = 0 => fn(x) continues sur ]0;pi]

Il faut calculer la limite en 0 pour conclure sur la continuité.

Ramène-toi à une expression du type

fn(x) = C*(sinAx/Ax)*(Bx/sinBx)
Quand x->0 sinAx/Ax -> 1 et Bx/sinBx->1

La limite doit ensuite être immédiat. Si cette limite vaut fn(0) alors
fn(x) est continue sur [0;pi]

2)a Il suffit d'appliquer la formule trigonométrique:

sin a + sin b = 2*....


2)b) Calculer intégrale sur [0;pi] de cos(nx): une primitive est sin(nx)/n
=> valeur de l'intégrale.

En conséquence:
    I(n) - I(n-1) = C
        
    I(n-1) - I(n-2) = C
                    
.........

    I(1) - I(0) = C
                    
En additionnant:

  
    I(n) - I(0) = nC
                      
I(0) = intégrale de 0 à pi de f0(x) avec f0(x) = 1

=> I(n)...

Bon courage



*** message déplacé ***

pour n>=1, on considere la fonction fn definie sur [0;pi] par :

fn(o)=2n+1  
fn(x)=(sin(n+1/2)x)  
           -----------------          si xdifferent de 0  
                   sin(x/2)  
on pose pour n>=0, In=(integral de 0 a pi) fn(x)*dx  
a)verifier l'egalité fn(x)-f(n-1)(x)=2cos(nx)  
b)en deduire que la suite (In) est constante et calculer In

*** message déplacé ***

Bonjour,

J'ai donné une réponse dans le sujet
"encore ce probleme ki m embete sur les integrale" il y a quelques jours.

A+


*** message déplacé ***

1) Apprenez à utiliser lim sin(ax)/ax = 1 quand x tend vers 0.

fn est continue sur ]0,Pi[ en tand que rapport de deux fonctions continues
sur cet intervalle. Il reste à étudier la continuité en 0.

fn(x)=[sin((2n+1)/2)x)/(2n+1)/2)x]*[((2n+1)/2)x)/(x/2)]
           * [(x/2)/sin(x/2)]

ca parait plus compliqué mais sur feuille de papier c'est plus
claire.

Comme:

lim sin((2n+1)/2)x)/(2n+1)/2)x = 1 quand x tend vers 0

lim [(x/2)/sin(x/2)] = 1 quand x tend vers 0

donc lim fn(x) = ((2n+1)/2)x)/(x/2) = 2n+1 quand x tend vers 0

                        = f(0)

donc fn est continue en 0 à droite.

donc fn est continue sur [0,Pi]

2)utiliser la formule: sin(p)-sin(q)=2*sin((p-q)/2)cos((p+q)/2)

fn(x)-f(n-1)(x)= [1/sin(x/2)]*[sin((2n+1)/2)x-sin((2n-1)/2)x]
                          =  [1/sin(x/2)]*[2*sin(x/2)*cos(nx)]
                          = 2cos(nx)

C'est le résultat recherché.

fn(x)-f(n-1)(x)= 2cos(nx)

on intégre les deux membres entre 0 et Pi. On peut le faire car fn et
fn-1 sont continue sur cet intervalle donc elles sont intégrables.

(integral de 0 a pi) (fn(x)-f(n-1)(x))*dx =(integral de 0 a pi) 2cos(nx) dx
                                                                
    = [-sin(nx)/n ]entre o etPi
                                                                
    = 0
donc (integral de 0 a pi) (fn(x)-f(n-1)(x))*dx =0

donc
(integral de 0 a pi)fn(x)dx - (integral de 0 a pi) (f(n-1)n(x)dx =0

donc In -I(n-1) = 0 qq soit n>=1

donc In =I(n-1)  qq soit n >=1

donc In est constant qq soit n >=1

en particulier In=I1=(integral de 0 a pi)f1(x)dx

en fait c'est plus simple si on prend n=0 mais l'énoncé précise
n>=1.

f1(x)= sin(3x/2)/sin(x/2)
         =[ sin(x)cos(x/2) - cos(x)sin(x/2)]/sin(x/2)
         = [2sin(x/2)cos(x/2)cos(x/2) - cos(x)sin(x/2)]/sin(x/2)
         = [2cos²(x/2)-cos(x)] en simplifiant par sin(x/2)
         = 1 ; en utilisant la formule cos2a = 2cos²(a) - 1
donc
(integral de 0 a pi)f1(x)dx = (integral de 0 a pi)1dx
                                             = [x] pris entre 0 et
Pi
                                             = Pi.

donc qq soit n>=1 In= Pi

c'est le résultat.