bonjour
repère BA,BC
coordonnées
B(0;0),  A(1;0), C(0;1), I(0;1/2),
pour J milieu de AI tu fais (xI+xA)/2=1/2
et (yI+yA)=1/4
donc J(1/2;1/4)
a) A,K,C alignés
donc (y-yA)/(x-xA)=(yC-yA)/(xC-xA)
je te laisse faire les calculs
tu écris le même type de relation pour montrer l'alignement des
points B,K et J
tu auras 2 équations avec x et y comme inconnus et que tu sauras probablement
résoudre et les valeurs x et y trouvées seront les coordonnées de
K
tu auras
les coordonnée  vectorielles de AK seront
(xK-xA) et (yK-yA) et tu verifies que ces coordonnées vectorielles sont égales
au 1/3 de celles de AC (xC-xA) et (yC-yA)
Bon travail

Salut !!

Pour trouver les coordonnées d'un point M dans un repère (B,u,v),
il faut exprimer le vecteur BM en fonction de u et v (ici u = BA
et v = BC)

Ici, il faudra exprimer BA, BC, BI et BJ en fonction de BA et BC

Allons-y

coordonnées de A:
BA = 1.BA + 0.BC
A(1,0)

Coordonnées de C:
BC = 0.BA + 1BC
C(0,1)

Coordonnées de I:
BI = 0.BA + 1/2 BC
I(0,1/2)

Coordonnées de J:
BJ = BI + IJ
   = 1/2 BC + (1/2 IA)
   = 1/2 BC + (1/2(IB+BA))
   = 1/2 BC -1/2 BI + 1/2 BA
   = 1/2 BC -1/2(1/2 BC) + 1/2 BA
   = 1/2 BC -1/4 BC + 1/2 BA
   = 1/4 BC + 1/2 BA
Attention ici, le repère est (B,BA,BC) donc il faut d'abord écrire BA
et ensuite BC !!

BJ = 1/2 BA + 1/4 BC
J(1/2,1/4)

a/
K(x,y)

Colinéarité:
AK = m.AC (m est un réel)

Ecrivons les coordonées de ces vecteurs
A(1,0)
K(x,y)
C(0,1)
AK = (x-1, y-0) = (x-1,y)
AC = (0-1,1-0) = (-1,1)

donc (x-1,y) = m.(-1,1)
         (x-1,y) = (-m,m)

on trouve alors 2 relations (les "abscisses" ensemble et les "ordonnées"
ensemble)
x-1 = -m
y = m

on en déduit

x-1 = -y
ou encore

y = 1-x

b/
Colinéarité

BJ = n.BK (n est un réel)

B(0,0)
J(1/2,1/4)
K(x,y)

BJ = (1/2 - 0, 1/4-0) = (1/2,1/4)
BK = (x-0,y-0) = (x,y)

Donc en réécrivant la relation de colinéarité
BJ = n.BK
(1/2,1/4) = n.(x,y)
(1/2,1/4) = (nx,yn)

on trouve alors 2 relations (les "abscisses" ensemble et les "ordonnées"
ensemble)
1/2 = n.x
1/4 = n.y

1/2 = n.X
1/2 = 2n.y

donc n.x = 2n.y

Donc

x = 2y


on a donc enfin 2 relations entre x et y

x = 2y
y = 1-x

On résout ce système

x = 2y
y = 1-2y

x = 2y
y+2y = 1

x = 2y
3y = 1

x = 2y
y = 1/3

x = 2/3
y = 1/3

On a donc les coordonnées de K(2/3,1/3)

Ainsi
AK = (2/3 - 1,1/3-0) =(-1/3,1/3)

AC = (-1,1)

on veut montrer que
AK = 1/3 AC

abscisse(AK) = -1/3 = 1/3 *(-1) = 1/3 abscisse(AC)
ordonnée(AK) = 1/3 = 1/3 *(1) = 1/3 ordonnée(AC)

on peut donc conclure que AK = 1/3 AC

Voili, voilà !!

Reprends l'exercice bien tranquillement, tu verras que c'est pas
si difficile que ça !!

Bon courage @+

Zouz