bonsoir

ce que tu as a faire, ca s'appelle des developpements limites et ca se fait tres facilement apres la terminale

pour que tu puisses le faire il faut que tu utilises le nombre derive pour une approximation du type de celle d'euler que tu as du voir en 1ere

Bonjour

je suis associé a good57 pour ce devoir ..


en reprenant mon cours sur le developpement limites, je n'arrive pas a aboutir a un résultat plausible. et je vois pas ce que la méthode d'euler peut bien faire ici..


j'aimerai donc avoir plus de précision sur cet exercice.

il me semble qu'il faut utilisé ceci :

Pour f(x) = sin x, les valeurs en 0 de la fonction et de ses d´eriv´ees successives sont 0, 1, 0,−1
et puis on recommence. La formule de Taylor avec reste de Young `a l'ordre 2n en 0 s'´ecrit
sin x = x − (x^3/6)+ (x^5/5! + · · · + (−1)n−1 (x^2n−1)/(2n − 1)! + o(x2n).


D'avance merci !

Bonne journée

Sans utiliser les DL.

g(x) = x - (1/6)x³ - sin(x)

g'(x) = 1 - (x²/2) - cos(x)

g''(x) = -x + sin(x)

g'''(x) = -1 + cos(x)

--> g'''(x) <= 0 sur R+ -> g''(x) est décroissante.
g''(0)  = 0

Des 2 lignes précédentes, on conclut que g''(x) <= 0 sur R+

Comme g''(x) <= 0 sur R+ --> g'(x) est décroissante.
g'(0) = 1 - 0 - 1 = 0

Des 2 lignes précédentes, on conclut que g'(x) <= 0 sur R+

Comme g'(x) <= 0 sur R+ --> g(x) est décroissante.
g(0) = 0

Des 2 lignes précédentes, on conclut que g(x) <= 0 sur R+

--> x - (1/6)x³ - sin(x) <= 0 sur R+

x - (1/6)x³ <= sin(x) sur R+
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A toi pour montrer que sin(x) <= x - (1/6)x³ + (1/120)x^5
en étudiant la fonction h(x) = x - (1/6)x³ + (1/120)x^5 - sin(x)

De la même manière que ce que j'ai fait ci-dessus.
Il faudra dériver plus loin que la dérivée 3 ème pour y arriver ...
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Sauf distraction.  

Suite:


1 b)

sur R- on déduit de la partie 1 a que:

x - (1/6)x³ + (1/120)x^5 <= sin(x) <= x - (1/6)x³
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2)
Sur R+*

x - (1/6)x³ <=   sin x <= x - (1/6)x³ + (1/120)x^5

- (1/6)x³ <=   sin x  - x<=  - (1/6)x³ + (1/120)x^5

- (1/6) <=   (sin x  - x)/x³ <=  - (1/6) + (1/120)x²

- (1/6) <=   lim(x-> 0+)  (sin x  - x)/x³ <= lim(x-> 0+) [ - (1/6) + (1/120)x²]

- (1/6) <=   lim(x-> 0+)  (sin x  - x)/x³ <= -1/6

lim(x-> 0+)[(sin x - x)/x³] = - (1/6)      (1)
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Sur R-*

x - (1/6)x³ + (1/120)x^5 <= sin x <= x - (1/6)x³

- (1/6)x³ + (1/120)x^5 <= sin x - x<= - (1/6)x³

- (1/6) + (1/120)x² <= (sin x - x)/x³ <= - (1/6)

lim(x-> 0-)[- (1/6) + (1/120)x²] <= lim(x-> 0-)[(sin x - x)/x³] <= - (1/6)

-1/6  <= lim(x-> 0-)[(sin x - x)/x³] <= - (1/6)

lim(x-> 0-)[(sin x - x)/x³] = - (1/6)      (2)
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(1) et (2) -->

lim(x-> 0)[(sin x - x)/x³] = - (1/6)
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Sauf distraction.