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Niveau seconde
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Problèmes de mélanges

Posté par
chloechayne
11-10-17 à 21:15

Voici l'énoncé :


Un viticulteur possède plusieurs barriques contenant 228L de vin. L'une de ces barriques étant à l'abri des regards, un employé peu délicat y prélève chaque jour un litre qu'il remplace par subrepticement par de l'eau.

a) À partir de quel jour la quantité d'eau contenue dans la barrique s'élèvera-t-elle au tiers de la quantité de vin ?
b) À partir de quel jour le tonneau contiendra-t-il autant d'eau que de vin ?

Je n'ai vraiment rien compris si quelqu'un pourrait m'aider avant vendredi...

Posté par
fm_31
re : Problèmes de mélanges 11-10-17 à 21:23

Bonjour ,

si tu fais un schéma avec dessus les données de l'énoncé , les réponses vont te paraitre évidentes .

Cordilement

Posté par
chloechayne
re : Problèmes de mélanges 11-10-17 à 21:31

Bonsoir,
Merci je n'y avais pas pensé je vais essayer tout de suite

Posté par
chloechayne
re : Problèmes de mélanges 11-10-17 à 21:48

J'ai essayer de faire un tableau :
228L=jour 1 pour trouver le tuer on fait 228÷3=76
76L= et ça fait environ 0,33 et ce n'ai pas possible pourrait tu m'aider ?

Posté par
fm_31
re : Problèmes de mélanges 11-10-17 à 21:53

Non , ce n'est pas exact . Tu n'as pas dû faire de schéma et tu as mal interprété la donnée suivante :

tiers de la quantité de vin

Je joins le schéma que tu aurais dû faire

Problèmes de mélanges

Posté par
chloechayne
re : Problèmes de mélanges 11-10-17 à 22:11

Oui mais ça ne donne pas les résultats. ..

Posté par
pgeod
re : Problèmes de mélanges 11-10-17 à 22:39

Ben, c'est qu'en prélevant chaque jour1l de liquide,
on prélève aussi une certaine quantité d'eau.

Soit U la suite donnant la quantité d'eau dans la cuve.

U0 = 0
U1 = 1
U2 = - U1/228 + 1
...
Un = -Un-1/228 + 1

On cherche n, tel que Un = 1/4 * 228

Posté par
flight
re : Problèmes de mélanges 11-10-17 à 23:21

salut

si je ne fais pas d'erreur , soit x la quantité initiale;de vin   alors
apres la premiere operation on obtient   x-1 litre de vin et 1 litre d'eau .
apres la seconde  operation on obtient   (x-1)²/x  litre de vin et x- (x-1)²/x litre d'eau.
....
apres la kième  operation on obtient   (x-1)k/xk-1  litre de vin et (x-1)k/xk-1  litre d'eau.

on cherche ensuite un k egal au nombre d operations ou jours tel que  
x - (x-1)k/xk-1 = 1/3 * (x-1)k/xk-1

apres resolution et sauf erreur j'obtiens k = 66 jours

Posté par
roberto999999
re : Problèmes de mélanges 09-07-23 à 01:35

bonjour à toutes et tous ,1/3 de 228=76 L d'eau ,donc il reste en vin 228-76=152L de vin on à bien :152+76=228L de mélange et cela au bout de 76jours puisque il retire 1L chaque jour de vin et remet 1L d'eau

Posté par
fm_31
re : Problèmes de mélanges 09-07-23 à 15:39

Bonjour ,
chaque jour , il ne retire pas 1 litre de vin mais 1 litre de liquide (mélange eau-vin) et comme l'a déjà indiqué pgeod .

Soit Q la suite donnant la quantité d'eau dans la cuve.

Q0 = 0
Q1 = 1
Q2 = Q1 - Q1/228  + 1
...
Qn = Qn-1 - Qn-1/228  + 1

En utilisant un tableur , on trouve rapidement les réponses attendues .
Cordialement

Posté par
roberto999999
re : Problèmes de mélanges 09-07-23 à 22:03

bonjour,
1èr jour ;(228- quantité d'eau)=( vin pur + eau) on y enlève le premier jour 1L de mélange ,il faut savoir que la quantité d'eau ne change pas dans un mélange donné : un petit exemple on a 6 L de vin et 3L d'eau le mélange est donc:9L on y enlève 1L et on y remet 1L la quantité d'eau initiale ne change pas 6+3)- 1L(de mélange) cela fera 5 L de vin pur et 2 L d'eau (au mélange) on y ajoute 1L d'eau on retrouvera le même résultat ,cela ressemble au alliage :x/9=1/3 d'où x=3 et pour notre problème x/228=1/3 soit x=76
cordialement

Posté par
roberto999999
re : Problèmes de mélanges 10-07-23 à 06:21

bonjour ,
U0 =228 ; U1=228-r donc Un=Uo+nr avec r négatif, 228/3=76L
U76=228+(-76)=152jours voilà pour (a) ,mais on pouvait le faire simplement c'est un devoir de seconde :228-152=76L
pour (b) U228=Uo+(228x-1)=0 là 228jours

Posté par
fm_31
re : Problèmes de mélanges 10-07-23 à 08:29

Les résultats que tu proposes me semblent erronés et ne correspondent pas à ce que donne le tableur .

Posté par
roberto999999
re : Problèmes de mélanges 10-07-23 à 11:05

bonjour,
j'ai pris Uo comme 1er terme ,doncU n+1=Uo+nr ,nous avons bien U76+1=228+(76 multplié par-1)=152jours
cordialement

Posté par
fm_31
re : Problèmes de mélanges 10-07-23 à 16:38

Ton analyse et donc tes formules sont erronées . On t'a indiqué comment mettre en équation cet exercice pour arriver à des résultats corrects . S'il y a quelque chose que tu ne comprends pas dans ce qui t'a été proposé , on pourra sans doute y répondre .

Posté par
ZEDMAT
re : Problèmes de mélanges 10-07-23 à 17:06

Bonjour à toutes et à tous,
Comme cela lui a déjà été demandé dans un autre post, il faudrait que Roberto nous dise quel est son niveau  scolaire. Est-il vraiment en 5ème ?
Cet exercice n'est pas des plus simples. On peut essayer de l'aider à trouver une solution... à sa portée donc au niveau 5ème. Mais il faut que l'on sache quel est réellement son niveau...

En exploitant les indications données dans ce fil (qui ne sont pas vraiment du niveau 5ème) on peut avec un tableur... faire des choses !!
Roberto maitrises tu le tableur ?
Peut-être que tu pourrais essayer de remplir les premières lignes....

Problèmes de mélanges

Posté par
roberto999999
re : Problèmes de mélanges 11-07-23 à 04:31

bonjour ,
pour le tableur  à partir du 4è jours ce n'est pas 3.97 L d'eau mais 3.99
arrondit ,la formule est bien :227/228 et multiplié par3 et on ajoute1,
si c'est cela pour le 39è jours on aura:227/228 multiplié par 38 et on ajoute 1 soit 38.8 il y a un sacré écart? pour le calcul de a) mélange constant 228 : posons x volume de vin pur  ,on a logiquement 228-1/3x=x=171 et volume d'eau 171/3=57 ,il faut donc 57jours voyons avec la formule si c'est cela 227/228 multiplié par56 et on ajoute 1 on trouve 56.75 arrondit on arrive à 57jours
merci pour votre amabilité et bien cordialement ,mais peut être que dans la formule  je me suis trompé avec cela (*) c'est bien une multiplication

Posté par
ZEDMAT
re : Problèmes de mélanges 11-07-23 à 11:03

Dommage que tu ne répondes pas à nos questions sur ton niveau scolaire  

Citation :
pour le tableur  à partir du 4è jours ce n'est pas 3.97 L d'eau mais 3.99
arrondit ,la formule est bien :227/228 et multiplié par3 et on ajoute1,

Dans le tableau (image d'écran) que je t'ai envoyé, les valeurs affichées sont arrondies pour une meilleure lecture des résultats MAIS les calculs qui s'enchainent sont réalisés avec la précision maximale (une dizaine de décimales !!) permise par le logiciel.

Par exemple : le 3ème jour, le volume d'eau N'EST PAS de 3 L (ni même de 2,99 L... que tu as arrondi à 3 ). Il est de : 2,986861342 L. En conservant cette valeur bien plus précise, le quatrième jour le volume d'eau est 3,973761073 dont la valeur approchée au 100ième est bien 3,97......

Idem pour la suite....

La formule est un = (227/228)*un-1 + 1
Si dans cette formule récurrente, tu prends
un-1 = 2,986861342 , on obtient bien.... 3,97 après arrondi.
NB :  *  est bien le signe de la multiplication (pour éviter d'utiliser le signe x qui se confondrait avec la lettre x qui représente souvent une inconnue)

Posté par
ZEDMAT
re : Problèmes de mélanges 11-07-23 à 11:10

suite (lis déjà mon message précédent)

Citation :
si c'est cela pour le 39è jours on aura:227/228 multiplié par 38 et on ajoute 1


D'où vient cette valeur 38 que tu utilises dans ton calcul avec la formule ?

Posté par
malou Webmaster
re : Problèmes de mélanges 11-07-23 à 13:24

Bonjour à tous
roberto999999 une question t'a été posée quant à ton réel niveau scolaire.
La moindre des choses quand on vient sur un site d'aide est de répondre aux questions qu'on te pose.
Si tu n'y réponds pas je me verrai dans l'obligation de t'avertir officiellement. Ne m'oblige pas à ça.

Posté par
roberto999999
re : Problèmes de mélanges 11-07-23 à 20:56

bonjour,
mon niveau vous voulez à vrai dire je nen ai pas
cordialement

Posté par
malou Webmaster
re : Problèmes de mélanges 12-07-23 à 07:21

Bonjour
Si tu as un niveau.
Manifestement tu as été à l'école, sans doute au collège...tu peux être adulte, peu importe ...dans la zone profil de ton compte balaie un peu tous les profils possibles et il y en a beaucoup....tu peux aussi me mettre un mail ( mail en cliquant sur mon pseudo, tu le vois sur ma fiche) et tu m'expliques un peu pourquoi tu me dis que tu n'as pas de niveau et je te dirai ce qu'on choisit pour coller au mieux.
Bonne journée

Posté par
roberto999999
re : Problèmes de mélanges 12-07-23 à 10:04

bonjour,
non vous savezje n'ai pas de niveau particulier très peu d'école presque pas ,collège jamais là je révise un peu ce que j'aurai appris par la suite de moi même avec les livres et encore aujourd'hui cela pour m'amuser ou faire travailler les neurones
cordialement

Posté par
malou Webmaster
re : Problèmes de mélanges 12-07-23 à 10:32

roberto999999, nous n'avons aucun souci avec cela
plutôt que de faire croire que tu es en 5e actuellement scolarisé, je vais te mettre en reprise d'études
Je pense que cela t'ira mieux.

Posté par
ZEDMAT
re : Problèmes de mélanges 12-07-23 à 11:07

Dans mon dernier message :

ZEDMAT @ 11-07-2023 à 11:10

suite (lis déjà mon message précédent)

Citation :
si c'est cela pour le 39è jours on aura:227/228 multiplié par 38 et on ajoute 1


D'où vient cette valeur 38 que tu utilises dans ton calcul avec la formule ?

je t'avais posé une question... restée sans réponse. Dommage.

A la lecture de tes messages, je crains que tu ne commettes une grosse erreur de raisonnement :
4ème jour-----> valeur 3
39ème jour ---- valeur 38
Cette déduction est totalement fausse.

Connais -tu l'écriture un [ou u(n)] ?
Si j'utilise cette notation présente dans la formule
un = 227/228*un-1 +1
pour le 39ème jour, on a :
n=39 donc n-1 = 38
u39 est le volume d'eau le 39ème jour
u38 est le volume d'eau le jour précédent (38ème jour)
Avec la formule, pour calculer u39, il FAUT donc déjà connaitre u38 et consécutivement u37, u36, etc.

Avec le tableur on part de u0  connu qui vaut  0 (Litres).
Un jour plus tard (n=1), le volume d'eau se calcule avec la formule et on obtient u1 = 227/228*u0 +1 = 227/228*0+1 = 1
Connaissant u1, je peux calculer u2 qui est le volume d'eau le 2ème jour (n=2)
u2 = 227/228*u1 = 227/228*1 +1 = 1,9956
De même on calcule u3 :
n=3 ==> u3 = 227/228*u2 +1 = 227/228*1,9956 +1 = 2,9869

Pour arriver à u39, il faut ainsi calculer de proche en proche toutes les valeurs qui précèdent u4, u5, u6,.... u37, u38.

Fastidieux !! Heureusement avec un tableur, on automatise tous ces calculs successifs.

Le problème est surtout "d'où vient la formule utilisée ?"

Posté par
flight
re : Problèmes de mélanges 12-07-23 à 17:30

salut

de passage sur cet ancier post , un bout de programme en vba excel me donne  67 essais environ pour répondre à la premiere question

Sub vin_eau()
Dim k as integer
Dim pv, pe As Double
Dim m_eau, m_vin As Double
k = 1 'etape 1
e = 0 'pas d'eau au départ
v = 228 'litres de vin
pv = v / (v + e) 'proportion de vin intiale
pe = e / (v + e) 'proportion d'eau initiale
Do
  k = k + 1
   'on retire 1 litre du mélange :
      qr = (v + e) - 1
        m_vin = pv * qr
        m_eau = (pe * qr) + 1
        'nouvelles proportions d'eau et de vin :
        pe = m_eau / (m_eau + m_vin)
        pv = m_vin / (m_eau + m_vin)
Loop Until m_eau >= (1 / 3) * m_vin
MsgBox k '--> retourne ' 67 essais
End Sub

Posté par
flight
re : Problèmes de mélanges 12-07-23 à 17:34

et pour la seconde question : en modifiant le programme comme suit :

Sub vin_eau()
Dim k as integer
Dim pv, pe As Double
Dim m_eau, m_vin As Double
k = 1 'etape 1
e = 0 'pas d'eau au départ
v = 228 'litres de vin
pv = v / (v + e) 'proportion de vin intiale
pe = e / (v + e) 'proportion d'eau initiale
Do
  k = k + 1
   'on retire 1 litre du mélange :
      qr = (v + e) - 1
        m_vin = pv * qr
        m_eau = (pe * qr) + 1
        'nouvelles proportions d'eau et de vin :
        pe = m_eau / (m_eau + m_vin)
        pv = m_vin / (m_eau + m_vin)
Loop Until m_eau >= m_vin  ' k pour lequel la masse d'eau devient au moins égale à la masse de vin
MsgBox k '--> retourne ' 159 essais
End Sub

Posté par
fm_31
re : Problèmes de mélanges 12-07-23 à 18:22

Après avoir remarqué qu'on a affaire à une progression arithmético -géométrique , on peut (à l'aide d'une calculatrice) obtenir le nombre n de jours attendu  pour avoir une quantité Q d'eau rajoutée
     n  = [log(228 - Q) - log(228)]  /  [log(227) - log(228)]
               à arrondir à l'entier supérieur

Voir

Posté par
roberto999999
re : Problèmes de mélanges 13-07-23 à 03:20

bonsoir,
oui   bravo , à vous tous si on divise la cuve en 4 parties égales nous auront un arrondie de 57 ,il suffira de chercher une valeur approchée : nous aurons 65è jour=56.66 d'eau convient , au 158è jours 114.20 litres d'eau ça convient ,cuve autant d'eau que de vin au 315 è jours   170.93l d'eau cela ira il ne restera plus que 1/4 de vin soit 57 litres
on peu aussi prendre le 316è jours 171.18l d'eau ,au bout de 520 jours 200litres d'eau il ne reste plus qe 28 litres de vin là les calculs ralentissent j'espère que je me suis pas trompé ,je vais calculer jusqu'à la fin ,cela ne me changera pas des systèmes réducteurs
cordialement

Posté par
roberto999999
re : Problèmes de mélanges 15-07-23 à 07:59

bonjour,

voilà nous avons 57 L d'eau et 171L de vin ,cela au rang 58 soit le 51è jours , la cuve es pleine d'eau et 0L de vin au rang 229 il faut donc 229 jours  tous les calculs sont tronqués à l'unité (on ignore les décimales)
on a bien  U229= 227/228*228+1=228 réponse b,
passons à la réponse (a) U58=227/228*57 +1=57L d'eau au rang 58 ou 58è jours j'ai fait les calculs en partant du rang 229 ,nous avons bien 1/3 de 171L ,on va faire pareil pour le vin au rang 58 ,227/228*171+1=171 pris à l'unité on ignore les décimales ,bon allez si on veut autant d'eau que de vin 115è jours soit: 227/228*114+1=114 litres d'eau et donc de vin ,l'énoncé le demandait pas ,si on par du premier jour la formule deviendra:Un+1=227/228Un+1=57 ,avec Un=57 et pour U229=227/228*228+1=228 voilà ,cordialement

Posté par
fm_31
re : Problèmes de mélanges 17-07-23 à 18:04

Bonjour ,

"nous avons 57 L d'eau et 171L de vin ,cela au rang 58 soit le 51è jours"  Erroné
"la cuve es pleine d'eau et 0L de vin au rang 229"  Erroné .La cuve ne contient que de l'eau au bout d'un temps infini .
Cordialement

Posté par
roberto999999
re : Problèmes de mélanges 18-07-23 à 13:15

bonjour
oui vous êtes vraiment très bon ,moi j'avais pris un raccouci avec deux fonctions l'une montante faisant un angle droit avec l'axe des abscisses y=227/228 Un-1 +1 et l'autre pour le vin se coupant à angle droit y= -228/227 Un-1+1 c'est trompeur enfin  parfait problème résolu
grâce a vous tous
bien cordialement

Posté par
roberto999999
re : Problèmes de mélanges 18-07-23 à 13:19

non pardonnez l'érreur celle qui descend y -228/227Un-1+228



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