Niveau Maths sup

Produit-Récurrence

Posté par
Maxuox 24-09-17 à 18:28

Bonsoir à tout , j'espère que vous allez bien.

J'ai un tout petit problème :

Soit $\forall x \in \mathbb{R} - \left\{ k \pi / k \in \mathbb{N}\star \right\}$ on a pour $n \in \mathbb{N}\star : An (x) = \prod_{1}^{n}{cos(\frac{x}{2^k})}$

Monter que : $\forall n \in \mathbb{N} , An(x) = \frac{sin(x)}{2^n sin(\frac{x}{2^n})}$

Je dois utiliser la recurrence mais sans utiliser la formule $sin(2x)=2sin(x)cos(x)$

Merci d'avance !!

Posté par re : Produit-Récurrence 24-09-17 à 18:56

CORRECTION

Sans utiliser la récurrence mais en utilisant la formule

Posté par re : Produit-Récurrence 24-09-17 à 19:00

Bizarre comme condition "sans utiliser la formule" $\sin 2x=2\sin x\cos x$

Posté par re : Produit-Récurrence 24-09-17 à 19:22

$n \in \mathbb{N}\star : A_n (x) = \prod_{1}^{n}{\cos \left (\dfrac{x}{2^k} \right )}$

$\sin\left(\dfrac{x}{2^n}\right )A_{n} (x)=\sin\left(\dfrac{x}{2^n}\right )\prod_{k=1}^{n}{\cos \left (\dfrac{x}{2^k}\right )} =\sin\left(\dfrac{x}{2^n}\right )\cos \left (\dfrac{x}{2^n}\right )\prod_{k=1}^{n-1}{\cos \left (\dfrac{x}{2^k}\right )} =\dfrac{1}{2}\sin\left(2\dfrac{x}{2^n}\right )\prod_{k=1}^{n-1}{\cos \left (\dfrac{x}{2^k}\right )}=\dfrac{1}{2}\sin\left(\dfrac{x}{2^{n-1}}\right )\prod_{k=1}^{n-1}{\cos \left (\dfrac{x}{2^k}\right )}$

Ainsi de suite jusqu'à n=1

Posté par re : Produit-Récurrence 24-09-17 à 19:27

$V_n=\sin\left(\frac{x}{2^n}\right )A_{n} (x)$

Donc: $V_n=\frac{1}{2}V_{n-1}$ ; suite géométrique de raison $\frac{1}{2}$

Posté par re : Produit-Récurrence 24-09-17 à 20:12

Merci beaucoup pour les réponses, c'est joli de voir plusieurs chemins qui mènent tous vers la réponse

Voila une autre méthode d'un ami :

$An (x) = \prod_{1}^{n}{cos(\frac{x}{2^k})} \\ = \prod_{1}^{n}{\frac{sin(2\frac{x}{2^k})}{2sin(\frac{x}{2^k})}} \\ = \frac{1}{2^n} \prod_{1}^{n}{\frac{sin(\frac{x}{{2}^{k-1}})}{sin(\frac{x}{2^k})}} \\ = \frac{1}{2^n} \frac{sin(x)}{sin(\frac{x}{2^n})}$
( Produit Télescopique, on pose $a_{k} = sin(\frac{x}{{2}^{k-1}})$ donc $a_{k+1} = sin(\frac{x}{2^k})$ )

Posté par re : Produit-Récurrence 24-09-17 à 20:29

C'est la même chose. Seulement ton copain brule les étapes.

Posté par re : Produit-Récurrence 24-09-17 à 20:50

$n \in \mathbb{N}\star$ : $A_n (x) = \prod_{1}^{n}{\cos \left (\dfrac{x}{2^k}\right )}$

$V_n=\sin\left(\dfrac{x}{2^n}\right )A_{n} (x)=\sin\left(\dfrac{x}{2^n}\right )\prod_{k=1}^{n}{\cos \left (\dfrac{x}{2^k}\right )} \\ =\sin\left(\dfrac{x}{2^n}\right )\cos \left (\dfrac{x}{2^n}\right )\prod_{k=1}^{n-1}{\cos \left (\dfrac{x}{2^k}\right )} \\ =\dfrac{1}{2}\sin\left(2\dfrac{x}{2^n}\right )\prod_{k=1}^{n-1}{\cos \left (\dfrac{x}{2^k}\right )} \\ =\dfrac{1}{2}\sin\left(\dfrac{x}{2^{n-1}}\right )\prod_{k=1}^{n-1}{\cos \left (\dfrac{x}{2^k}\right )} \\ =\frac{1}{2}V_{n-1}=\frac{1}{2^{n-1}}V_{1}$

$V_1=\sin\left ( \dfrac{x}{2} \right )\cos\left ( \dfrac{x}{2} \right )=\dfrac{1}{2}\sin x$

Donc : $V_n=\dfrac{1}{2^{n}}\sin x$ ; Avec : $V_n=\sin\left(\dfrac{x}{2^n}\right )A_{n} (x)$

Alors: $A_{n} (x)=\dfrac{1}{2^{n}}\dfrac{\sin x}{\sin\left(\dfrac{x}{2^n}\right )}$