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Niveau seconde
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Produit scalaire

Posté par
Asata
18-04-22 à 22:02

Bonsoir à tous j'ai un exercice de produit scalaire que je n'arrive pas à traiter  
Soit un carré ABCD. On construit un rectangle APQR tel que :
- P et R sont sur les côtés [AB] et [AD] du carré ;
- AP = DR.Le problème a pour objet de montrer que les droites (CQ) et (PR) sont perpendiculaires.
1. Justifier que : CQ.PR=CQ.(AR-AP)

2. En déduire que les droites (CQ) et (PR) sont perpendiculaires
J'ai réussi à faire la première question mais la deuxième là je trouve pas si vous pouvez m'aider merci d'avance

Produit scalaire

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Produit scalaire 19-04-22 à 09:37

Bonjour,
Développe le produit scalaire CQ.(AR-AP), puis utilise une propriété avec des projetés.

Posté par
carpediem
re : Produit scalaire 19-04-22 à 09:39

salut

donc tu n'as pas fait grand chose :...

1/ est juste la relation de Chasles ...

2/ peut-être développer le produit scalaire de 1/ et utiliser le fait que dans un rectangle il y a plein d'angles droits ... en décomposant le vecteur CQ à l'aide de la relation de Chasles lui aussi ...

Posté par
Asata
re : Produit scalaire 20-04-22 à 16:59

J'ai développé et voilà ce que je trouve
CQ.(AR-AP)=CQ.AR-CQ.AP
Mais je ne vois rien d'autre

Posté par
carpediem
re : Produit scalaire 20-04-22 à 17:08

carpediem @ 19-04-2022 à 09:39

2/ peut-être développer le produit scalaire de 1/ et utiliser le fait que dans un rectangle il y a plein d'angles droits ... en décomposant le vecteur CQ à l'aide de la relation de Chasles lui aussi ...

Posté par
Asata
re : Produit scalaire 20-04-22 à 18:25

Mais comment décomposer le vecteur CQ

Posté par
carpediem
re : Produit scalaire 20-04-22 à 19:34

comment as-tu fait avec le vecteur PR ?

Posté par
Asata
re : Produit scalaire 20-04-22 à 20:07

J'ai introduit un point A cela veut dire que CQ=CA+AQ  es-ce que sait ça

Posté par
carpediem
re : Produit scalaire 20-04-22 à 20:18

mais vu la figure cette décomposition est inutile !!!

carpediem @ 20-04-2022 à 19:34

comment as-tu fait avec le vecteur PR ?
et pourquoi ?

Posté par
Asata
re : Produit scalaire 20-04-22 à 21:06

C'est selon la première question que j'ai décomposé le vecteur PR dans la question 1 on demande de démontrer que CQ.PR= CQ.(AR-AP) j'ai fait de la manière suivante CQ.PR=CQ.(PA+AR)=CQ.(-AP+AR)=CQ.(AR-AP).

Posté par
carpediem
re : Produit scalaire 21-04-22 à 13:44

ok ... tu as donc décomposé PR en deux vecteurs orthogonaux ...

que sais-tu sur le produit scalaire ?

donc en réfléchissant sur les propriétés du produit scalaire comment décomposer CQ le plus judicieusement ?

Posté par
Asata
re : Produit scalaire 21-04-22 à 23:52

J'ai développé le produit scalaire CQ.(AR-AP)=CQ.AR-CQ.AP

J'ai calculé séparémment les deux produits scalaires avec le théorème de la projection (voir cours)

En projetant sur (AD) :
CQ.AR=DR.AR

Ces vecteurs étant de sens contraire :
CQ.AR=−DR×AR

En projetant sur (AB) :
CQ.AP=BP.AP

Ces vecteurs étant de sens contraire :
CQ.AP=−BP×AP

D'où :
CQ.PR=(−DR×AR)+(BP×AP)
Et on conclure

Posté par
carpediem
re : Produit scalaire 22-04-22 à 10:06

carpediem @ 21-04-2022 à 13:44

ok ... tu as donc décomposé PR en deux vecteurs orthogonaux ...

que sais-tu sur le produit scalaire ?

donc en réfléchissant sur les propriétés du produit scalaire comment décomposer CQ le plus judicieusement ?
il est dommage de ne pas avoir répondu à ces deux questions ... car il n'y a pas besoin de projection mais uniquement de relation de Chasles pour faire apparaitre des produits scalaires de vecteurs colinéaires ou orthogonaux qu l'on sait calculer immédiatement ... et que la première question suggère !!

donc on a tout simplement
PR = PA + AR
CQ = CD + DR + RQ

et on calcule le produit scalaire (PA + AR).(CD + DR + RQ) ...



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