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Niveau seconde
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Produit scalaire

Posté par
Sims16
17-05-22 à 22:37

Bonsoir à tous, j'ai besoin d'aide s'il vous plaît à propos de la résolution de cet exercice.
Énoncé :
Soit u un vecteur donné de norme 1.
Déterminer tous les vecteurs v de norme 1 tels que  u.v=1.


Comment puis je  procéder ?  
Merci d'avance.

Posté par
Pirho
re : Produit scalaire 18-05-22 à 07:06

Bonjour,

quelle est l'expression de \vec{u}.\vec{v}\,?

Posté par
Sims16
re : Produit scalaire 18-05-22 à 19:38

Salut, que voulez vous dire par  l'expression de u.v?

Posté par
malou Webmaster
re : Produit scalaire 18-05-22 à 19:47

Bonjour

ben comment le calcules-tu ?

Posté par
Sims16
re : Produit scalaire 19-05-22 à 05:56

u.v=  u×v×cos(u,v)  ?
Mais après j'ai pas d'angle donné

Posté par
Pirho
re : Produit scalaire 19-05-22 à 06:21

je corrige un peu ton écriture

\vec{u}.\vec{v}=||\vec{u}||\times ||\vec{v}||\times cos(\vec{u},\vec{v})

Citation :
Soit u un vecteur donné de norme 1.
Déterminer tous les vecteurs v de norme 1 tels que  u.v=1.


que vaut ||\vec{u}||\,?

que vaut ||\vec{v}||\,?

que vaut cos(\vec{u},\vec{v})?  sachant que \vec{u}.\vec{v}=||\vec{u}||\times ||\vec{v}||\times cos(\vec{u},\vec{v})=1

Posté par
Sims16
re : Produit scalaire 19-05-22 à 06:24

Cos(u,v) vaut sûrement 0, et v doit aussi être égal à 1

Posté par
Pirho
re : Produit scalaire 19-05-22 à 06:44

tu trouves que 1\times 1\times 0=1

Posté par
Sims16
re : Produit scalaire 19-05-22 à 08:04

Non😂😂, je parle du degré car cos de 0 =1

Posté par
malou Webmaster
re : Produit scalaire 19-05-22 à 08:11

donc que vaut \vec v\;\; ?

Posté par
Sims16
re : Produit scalaire 19-05-22 à 08:13

v est de norme 1

Posté par
malou Webmaster
re : Produit scalaire 19-05-22 à 11:12

ça on le sait depuis le début
la norme d'un vecteur, ce n'est pas suffisant pour déterminer ce vecteur...

Posté par
Sims16
re : Produit scalaire 19-05-22 à 17:13

Les deux vecteurs sont colinéaires et de même sens

Posté par
malou Webmaster
re : Produit scalaire 19-05-22 à 17:44

oui, et a pour norme 1
donc ?

Posté par
Sims16
re : Produit scalaire 19-05-22 à 17:59

Ils n'existe qu'un seul vecteur \vec{v} de norme 1 tels que
\vec{u}.\vec{v}=1

**balises Ltx rajoutées**

Posté par
malou Webmaster
re : Produit scalaire 19-05-22 à 18:44

oui, je suis d'accord...mais tu peux encore dire mieux...

Posté par
Sims16
re : Produit scalaire 19-05-22 à 18:54

Les deux vecteurs sont par conséquent égaux !?😅

Posté par
malou Webmaster
re : Produit scalaire 19-05-22 à 19:05

oui ! 😅

Posté par
Sims16
re : Produit scalaire 19-05-22 à 20:07

🥳😁 merci à vous de m'avoir accordé de votre temps et de m'avoir guidé 😊

Posté par
malou Webmaster
re : Produit scalaire 19-05-22 à 20:39

Je t'en prie, bonne soirée

Posté par
Sims16
re : Produit scalaire 19-05-22 à 21:11

Merciii pareillement

Posté par
Bcarre
re : Produit scalaire 20-05-22 à 03:23

Trouver un vecteur revient à trouver ces coordonnées :
On sait que vectV a pour coordonnées x;y et que norme de V égale 1
√x²+y²=1=>x²+y²=1
Voici les couples qui vérifient cette égalité
(1/2,√3/2);(-1/2,√3/2);(-1/2,-√3/2)
(√3/2,1)2);(-√3/2,1/2);(-√3/2,-1/2)
Les autres couples tels que (1/4,√7/4);(1/3,2√2/3) ne vérifient pas la 2ème relation U.V=1

Posté par
malou Webmaster
re : Produit scalaire 20-05-22 à 08:12

1)

Citation :
Trouver un vecteur revient à trouver ses coordonnées :


Non...un vecteur est un élément d'espace vectoriel, un point c'est tout. On ne parle pas de coordonnées ici.
2) et si c'était le cas, il y a bien d'autres couples solutions à x²+y²=1...

Posté par
mathafou Moderateur
re : Produit scalaire 20-05-22 à 10:52

Bonjour,

de toute façon (1/4,7/4) ne vérifie déja pas x²+y² = 1 (sa norme est \dfrac{\sqrt{2}}{2})

et "les des couples qui vérifient cette égalité" on s'en fiche de ceux là car aucun ne vérifie U.V = 1,
surtout que U est tout aussi inconnu (indéfini dans ce que tu dis) ... à moins que U = V ce que l'on sait de façon bien plus simple !

si on veut le faire par les coordonnées (pourquoi compliquer à loisir ?)
on doit déja se définir le vecteur U , ou plus exactement choisir le repère de sorte que U donné soit un vecteur unitaire de ce repère U ( 1; 0)

alors les cordonnées de V doivent satisfaire au système

\left\{\begin{array}l \|\vec{V}\| = 1 \\ \vec{U}.\vec{V} = 1\end{array}\right.

si on le traduit en coordonnées, ça donne

\left\{\begin{array}l x^2 + y^2 = 1 \\ 1*x + 0*y = 1\end{array}\right.

la deuxième équation donne la seule solution x = 1
que l'on reporte alors dans la première pour obtenir la seule solution y = 0
et donc le seul vecteur V qui convient est (1; 0 ) = U

Posté par
mathafou Moderateur
re : Produit scalaire 20-05-22 à 12:11

et si on veut continuer à se malaxer le cerveau :
soit \vec{AB} un représentant de \vec{U}
on cherche un représentant \vec{AM} de \vec{V} avec
\|\vec{AM}\|=r et \vec{AB}\cdot \vec{AM} = k (histoire de généraliser...)
alors M est à l'intersection si elle existe du lieu de M avec \|\vec{AM}\|=r (le cercle de centre A et de rayon r)
et du lieu de M avec \vec{AB}\cdot \vec{AM} = k (la perpendiculaire en K à (AB) tel que \vec{AB}\cdot \vec{AK} = k)

Produit scalaire

dans l'exo AB = r = 1 et k = 1
la droite et le cercle sont tangents en B qui est leur seul point d'intersection.

mais comme deja dit, foin de telles complications, le problème est résolu en 2 lignes avec \vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|* \|\vec{v}\| * \cos (\vec{u}, \vec{v})
(si on connait = comprend vraiment son cours sur les vecteurs et sur la trigo...)

(message envoyé sans pouvoir être relu car met trois plombes à afficher le LaTeX dans l'aperçu)

Posté par
mathafou Moderateur
re : Produit scalaire 20-05-22 à 13:06

en un dernier malaxage de neurones :

en utilisant la "célèbre" formule totalement inconnue jusqu'à ce qu'un technocrate de l'enseignement l'introduise dans les programmes (avant c'était un éventuel exo à démontrer) :
\vec{u}\cdot\vec{v}=\frac{1}{2}\left(\|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 - \left\|\vec{u} - \vec{v}\right\|^2\right)

formule éminemment dangereuse car risque de confusions entre la norme de la différence et la différence des normes
et de confusion avec sa copine \vec{u}\cdot\vec{v}=\frac{1}{2}\left(\left\|\vec{u} + \vec{v}\right\|^2-\|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2  \right)

bref ici ça donne
1 = \frac{1}{2}\left(1 + 1 - \left\|\vec{u} - \vec{v}\right\|^2\right)
et donc \left\|\vec{u} - \vec{v}\right\|=0 c'est à dire \vec{u} - \vec{v} = \vec{0}

méthode elle aussi bien inutilement compliquée...



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