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Niveau maths sup
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produit scalaire et colinéarité en dimension > 2

Posté par
prdox
08-04-20 à 00:32

Bonjour je souhaiterais savoir si le raisonnement suivant qui est valable en dimension 2 est aussi valable pour les dimensions supérieurs

Si j'ai deux vecteurs u et u' , tous deux de normes > 1
et que  j'ai de plus un 3e vecteur v tel que ||v|| > 1
et de telle sorte que les produits scalaires
< u | v > = 0 et < u' | v > = 0

comme le produit scalaire < u | v > en dimension deux est égale à  ||u|| * ||v|| * cos(u,v)
donc comme les normes sont non nulles
< u | v > =0 et < u' | v > = 0  implique  cos(u,v) =  cos(u',v) = 0
implique u , u' et v sont tous 3 colinéaires

je me demande si le raisonnement est valable en dimension 3,4,5 ...n en particulier a cause de la relation < u | v > =   ||u|| * ||v|| * cos(u,v) qui n'est peux etre plus vrai en dimension superieur a 2 ou en tout cas il faut une définition de l'angle entre deux vecteurs de dimension supérieur a 2.

Que peut t-on en conclure sur u u' et v des informations suivantes :
< u | v > =0 ,  < u' | v > = 0 , ||u|| > 1 , ||u'|| > 1, ||v|| > 1

est ce que lorsque la dimension des vecteurs est supérieur a 2 cela veut quand même dire que  u , u' et v sont tous 3 colinéaires c'est à dire qu'il éxiste k dans R et k' dans R tel que u =  k  . v et u' = k' . v

Merci pour votre aide !

Posté par
prdox
re : produit scalaire et colinéarité en dimension > 2 08-04-20 à 00:36

jai dit des grosses betises ... excusez moi je vais me reprendre

Posté par
prdox
re : produit scalaire et colinéarité en dimension > 2 08-04-20 à 00:38

si <u | v> = 0 cest a dire que u est orthogonal a v
et <u'|v> = 0 implique u' est orthogonal a v

est ce que cela veut dire que u et u' sont colineaires ?

Posté par
prdox
re : produit scalaire et colinéarité en dimension > 2 08-04-20 à 00:39

sachant que les normes de u, u' et v sont non nulles

Posté par
Sugaku
re : produit scalaire et colinéarité en dimension > 2 08-04-20 à 01:14

Bonsoir,
En dimension 2 : Si <u\mid v> =0 et <u'\mid v> =0 alors le raisonnement que tu as écrit t'informes que \cos(u,v)=0=\cos(u',v) et de ce fait, les angles orientés (u,v) et (u',v) sont congrus à \frac{\pi}{2} ou \frac{3\pi}{2} modulo 2\pi. De ce fait, u et u' dirige la même droite et sont donc colinéaires.

Concernant la dimension n\ge 3 : On se rend très vite compte que ça ne peut pas marcher (en tout cas avec le produit scalaire euclidien usuel). Il suffit de s'intéresser aux vecteurs v=(1,0,0,\ldots,0), u=(0,1,0,\ldots,0) et  u'=(0,0,1,\ldots,0).
On voit facilement que <u\mid v>=0 et <u'\mid v> =0 cependant u et u' ne sont clairement pas colinéaires. (et si le fait que la norme de ces vecteurs soit 1 te déranges, tu peux remplacer mes 1 par des 2 dans u, u' et v)

Posté par
prdox
re : produit scalaire et colinéarité en dimension > 2 08-04-20 à 02:25

ok merci Sugaku pour la clarification et le contre exemple je vais chercher dans une autre direction.

Posté par
carpediem
re : produit scalaire et colinéarité en dimension > 2 08-04-20 à 15:04

salut

quel que soit l'espace :  u . w = v . w = 0 <=> (u - v) . w = 0

(le produit scalaire est distributif : cours 1e)



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