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Niveau maths spé
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Produit vectoriel

Posté par
Serbiwni
05-12-21 à 18:20

Bonsoir,

Petite question de calcul sur cet exercice :
Soit \gamma(t) une géodésique d'une sphère centrée en l'origine. Vérifier que le vecteur m := \gamma \times \dot{\gamma} est constant.
J'ai écris que \dot{m}=\dot{\gamma} \times \dot{\gamma} + \gamma \times \ddot{\gamma} = \gamma \times \ddot{\gamma} mais comment conclure que \gamma \times \ddot{\gamma} = 0 ?

Posté par
GBZM
re : Produit vectoriel 05-12-21 à 18:30

Bonsoir,

Tu n'as pas encore utilisé le fait que \gamma est une géodésique de la sphère.

Posté par
GBZM
re : Produit vectoriel 05-12-21 à 18:57

Ta géodésique est paramétrée par l'abscisse curviligne ?

Posté par
verdurin
re : Produit vectoriel 05-12-21 à 19:17

Bonsoir,
en tous cas elle est parcourue à vitesse constante \lVert\dot{\gamma}\rVert=\text{constante} sinon le résultat demandé est faux.

Posté par
Serbiwni
re : Produit vectoriel 05-12-21 à 21:06

Oui, la vitesse est constante car c'est une géodésique

Posté par
verdurin
re : Produit vectoriel 05-12-21 à 21:46

Le « car c'est une géodésique » est de trop.
Après il faut regarder quelles sont les géodésiques de la sphère.
Ce n'est pas une propriété générale, sauf erreur de ma part.

Posté par
Serbiwni
re : Produit vectoriel 05-12-21 à 22:04

Je crois que si, voici une preuve, où l'on prend une géodésique quelconque (cas général et non celui que je décris en exercice) :
Soit \gamma : I \to S une géodésique d'une surface S. Alors \ddot{\gamma}(t) est orthogonal à tout vecteur
v \in T_{\gamma(t)}S, en particulier \ddot{\gamma}(t) \cdot \dot{\gamma}(t) = 0, par conséquent

\frac{d}{dt}\lVert \dot{\gamma} \rVert ^2 = 2 (\ddot{\gamma}(t) \cdot \dot{\gamma}(t)) =0 donc la vitesse est constante pour une géodésique quelconque

Posté par
verdurin
re : Produit vectoriel 05-12-21 à 22:21

On a pas la même définition de « géodésique ».

Posté par
Serbiwni
re : Produit vectoriel 05-12-21 à 22:29

Chez moi, c'est :

Une courbe  \gamma : I → S de classe C2 tracée sur une surface S ⊂ R3 est une géodésique de cette surface si son accélération est normale à la surface pour tout t (c'est à dire γ¨(t) ⊥ Tγ(t)S pour tout t ∈ I)

Posté par
GBZM
re : Produit vectoriel 05-12-21 à 23:37

Cette définition est fausse si on n dit pas que la vitesse est constante.



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