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Niveau maths sup
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Produit vectoriel et scalaire

Posté par
Serbiwni
06-09-20 à 04:44

Bonsoir, je bloque sur des manipulations de produit vectoriel. Le problème est tiré d'un livre de physique mais c'est la partie mathématique qui me gêne :
Enoncé : soit une grandeur physique définie par un vecteur L, telle que \frac{dL}{dt} =   w ∧ L, où le vecteur ω est constant.
1) Montrer que ω · \frac{dL}{dt} =   ω · (ω ∧ L) = 0
2) Montrer que L · \frac{dL}{dt} =   L · (ω ∧ L) = 1/2 *  \frac{dL^2}{dt} =   0 et en déduire que la norme de L est constante.
3) En déduire que l'angle entre ω et L est constant.

J'ai réussi la première question en montrant que les coordonnées s'annulent et donnent bien 0.
Pour la deuxième je fais pareil pour prouver que L · \frac{dL}{dt} =   L · (ω ∧ L) = 0.
Ensuite je dis que \frac{dL^2}{dt} =   2 L · \frac{dL}{dt} =   d'où L · \frac{dL}{dt} =   1/2 *  \frac{dL^2}{dt}   . Donc on a bien L · \frac{dL}{dt} =   L · (ω ∧ L) = 1/2 *  \frac{dL^2}{dt} =   0

Après je ne vois absolument pas comment en déduire que la norme de L est constante ni que l'angle entre ω et L est constant. Je vous remercie de votre aide.

Posté par
LeHibou
re : Produit vectoriel et scalaire 06-09-20 à 09:41

Bonjour,

Tu as montré que la dérivée du carré de la norme est nulle, donc le carré de la norme est constant, donc la norme est constante...
Ensuite, souviens-toi que l'angle entre et L satisfait à :
.L = ||.|L|cos
Tu dois pouvoir en déduire que cos() est constant...

Posté par
Serbiwni
re : Produit vectoriel et scalaire 06-09-20 à 13:26

LeHibou @ 06-09-2020 à 09:41

Bonjour,

Tu as montré que la dérivée du carré de la norme est nulle, donc le carré de la norme est constant, donc la norme est constante...
Ensuite, souviens-toi que l'angle entre et L satisfait à :
.L = ||.|L|cos
Tu dois pouvoir en déduire que cos() est constant...


Tout est clair et logique mais pourquoi \frac{dL^2}{dt}   est la dérivée du carré de la norme ? Je vois plutôt ça comme la dérivée du carré du vecteur L et non pas d'une norme. Je pense que c'est ce point qui me pose problème.

Posté par
Serbiwni
re : Produit vectoriel et scalaire 06-09-20 à 13:51

Je viens de me rappeler que L2 = L · L = |L|2, ai-je raison ?

Posté par
LeHibou
re : Produit vectoriel et scalaire 06-09-20 à 14:27

Oui 😁

Posté par
Serbiwni
re : Produit vectoriel et scalaire 06-09-20 à 14:55

LeHibou @ 06-09-2020 à 09:41


Ensuite, souviens-toi que l'angle entre et L satisfait à :
.L = ||.|L|cos
Tu dois pouvoir en déduire que cos() est constant...

On a cos() = (.L) / ||.|L|
Excusez-moi mais je ne trouve pas l'indication qui montre que le numérateur est constant

Posté par
Serbiwni
re : Produit vectoriel et scalaire 06-09-20 à 14:57

Pourrait-on utiliser w ∧ L = |w|.|L|.sin(a) ?

Posté par
Serbiwni
re : Produit vectoriel et scalaire 06-09-20 à 16:08

En arrivant à prouver que |w ∧ L| = |\frac{dL}{dt}  | = |w|.|L|.sin(a) ?
Il faudrait alors montrer que |\frac{dL}{dt}  | est constant mais j'ignore comment faire.

Posté par
malou Webmaster
re : Produit vectoriel et scalaire 06-09-20 à 16:33

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q03 - Pourquoi ne faut-il pas faire du ''multi-post'' ?



attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q25 - Pourquoi le respect des règles est-il si important sur ce forum ?

Posté par
LeHibou
re : Produit vectoriel et scalaire 06-09-20 à 23:27

Bien que le multi-post soit interdit, je vais tout de même répondre à ta question, mais je comprendrais très bien qu'un admin supprime cette réponse...
A 14h55 tu écris :

Citation :
Excusez-moi mais je ne trouve pas l'indication qui montre que le numérateur est constant

Reviens à la question 1. Tu as montré que :
dL/dt = 0
Donc :
dL/dt = K
Mais est constant, tu peux donc le sortir du signe somme :
dL/dt = K
L = K
Il faudrait être un peu plus précis avec les constantes d'intégration, mais c'est l'esprit...

Posté par
Serbiwni
re : Produit vectoriel et scalaire 07-09-20 à 07:59

Merci j'avais fini par dire que d(w.L)/dt = w.dL/dt + L.dw/dt = w.dL/dt = 0 donc w.L est une constante car sa dérivée est nulle

Posté par
LeHibou
re : Produit vectoriel et scalaire 07-09-20 à 08:16

C'est la même idée



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