bonjour

appelons x ce nombre premier
(pour démontrer, on va raisonner sur un nombre premier x quelconque, et pas sur un exemple)

quelle expression de x obtiens-tu à la fin du programme ?

Bonjour,

en fait qu'il soit premier ou pas n'a aucune importance
ce qui compte est qu'il soit impair
et le résultat est même non seulement multiple de 4 mais même de 8 !!
(et avec "premier > 3" on aurait même multiple de 24 !)

mais à ce niveau (en 3ème) on se contentera déja de multiple de 4 pour tous les nombres simplement impairs en entrée...
(dont font partie les nombres premiers > 2)

il faut donc obligatoirement choisir au départ un nombre impair et pas seulement "un nombre quelconque écrit x"

comment s'écrit un nombre impair en général ?

ajouter le critère "x premier" à la fin du calcul est inutilisable :
il n'existe pas de formule pour écrire "un nombre premier" en général
heureusement ici "un nombre impair" suffit
et ça , ça peut s'écrire dès le départ.

il faut donc obligatoirement choisir au départ un nombre impair et pas seulement "un nombre quelconque écrit x"
tout à fait d'accord,
j'attendais une réponse de MAXTYLE pour le faire réfléchir ensuite sur la parité de x (et la factorisation...)

il a désormais tous les éléments en main.

le problème est que le faire après coup sur la formule avec x écrit x tout court est mal commode !!
d'où mon intervention, de procéder d'abord à cette réflexion sur la nature des nombres premiers avant de faire les calculs et pas après.

en effet, la démonstration sera plus élégante.

Merci j'ai a peu près compris la démarche mais comment peut on écrire un nombre impair avec x ?

comment tu peux écrire un nombre pair ?

X*2??

Aaahhhh c'est bon j'ai eu un déclic ! Pour écrire un nombre impair ça donne x*2+1 c'est ça ? 😁

oui
on a "l'habitude" d'utiliser la variable n.

si x est un nombre entier pair, alors il existe un entier naturel n,  tel que  x = 2n

et à ton avis , si x est impair ?
x = 2n + ...?

oui, messages croisés

x = 2n+1

revenons au programme.
quelle expression en x on obtient en fin de programme ?

je reformule :

Choisir un nombre premier (qui n'est pas 2)   ---- je l'appelle x
le mettre au carré et soustraire 1. ---- j'obtiens ....?

Ça fait 2xau carré + 1-1
Donc ça fait 2x au carré ?
(désolé pour le temps que je mets à répondre mais quand j'actualise la page les messages envoyés apparaissent avec beaucoup de retard)

x = 2n+1 on a dit

élever au carré : x² = (2n+1) ²
retrancher 1 : ...

ensuite il faudra développer correctement
(2n+1)² ne fait pas 2n au carré plus 1 !

Donc ça fait 4n au carré + 4n +1 - 1
Et donc :4n au carré + 4n

Et je factoriser avec 4 ou ou je m'arrête la ?

factoriser est une excellente idée puisqu'on veut prouver que c'est un multiple de etc

D'accord merci beaucoup pour votre aide

et as tu finalement pu démontrer que c'était un multiple de 8 ?
(à partir de cette factorisation poussée le plus possible)

4n(n+1)
En factorisant comme ça donc ?

oui,
donc tu as déja immédiatement la divisibilité par 4

et maintenant de deux choses l'une , ou bien n est lui même pair, ou bien il est impair, et donc ...

Le résultat sera pair dans tous les cas

le résultat ? quel résultat ?
on sait déja que c'est divisible par 4 ! donc pair quelque soit n, sans même se poser de question, c'est certain.

mais on cherche à en savoir plus ... pas moins.

Ah alors c'est un multiple de 8 car c'est un multiple de 4 et donc aussi de 8 car 8 est le double de 4?

l'un des deux n ou n+1 est pair
donc n(n+1) est pair, et en le multipliant par 4, le résultat 4n(n+1) est multiple de 4*2 = 8

restons en là, mais on démontrerait de la même façon que si x est un nombre premier > 3 alors le résultat est multiple de 24

on ne le fera pas vu que l'énoncé dit > 2 seulement et que avec 3, le résultat n'est pas un multiple de 24.