Bonjour,
Je ne vois pas comment raisonner sur ce problème:
(f,g) deux applications linéaires telles que f+g=Id
rg(f) + rg(g) n
Montrer que f et g sont des projecteurs.
J'ai essayé de montrer que rg(f)=tr(f) en raisonnant sur des inégalités mais je n'y arrive pas
Merci
Bonjour,
j'imagine que n désigne la dimension de l'espace ambiant et que f et g sont des endomorphismes.
Tu commencer par montrer que ker f et ker g sont supplémentaires.
Bonjour,
Essayer de le faire par récurrence avec la propriété P "n= dim E , f+g=I et rg(f)+rg(g)n alors f, g projecteur.
pour n=1 facile.
supposons Pn vraie.Démontrons Pn+1.
A cause de rg(f)+rg(g)n+1 on a soit kerf ou kerg non réduit à O
supposons que ce soit kerg et considérons alors u non nul dans kerg
A cause de f+g=I si uker(g) alors f(u)=u.
Définir ensuite En un supplémentaire de {u} donc de dim n.
Appliquer ensuite Pn aux restrictions de f et g à En. Enfin finir pour V = V1+xu dans En+1
Bonjour alexre,
sans passer par la récurrence, on peut:
- montrer que ker f et ker g sont supplémentaires, en raisonnant sur les dimensions.
- montrer ensuite que Im g = ker f en montrant que ker f est inclus dans Im g (resp. Im f = ker g), puis conclure que f et g sont des projecteurs.
Bonjour, effectivement on peut demontrer facilement que dim Kf+dimKgn et que KfKg={O} donc que Kf et Kg supplémentaires. La récurrence est la première solution qui m' est venue.
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