bonjour

je ne vois pas bien l'utilité d'avoir une base orthonormée de ce sev...

une base simple (a ; b ; c) suffit

tu cherches v(5 coordonnées) tel que v est dans ce sev (2 équations) tel que (v-u) soit orthogonal à a , b et c (3 équations)

ce qui te fait un système de 5 équations à 5 inconnues (les coordonnées de v)

c'est une méthode

avec la base initiale que tu as trouvée tu obtiens (sauf erreur) pour les coordonnées de v le système :

x1 + x2 + x3 = 3
-x1 + x4 = 0
-x2 + x5 = 0
x1 - x3 + x4 = 0
x2 - x3 + x5 = 0

qui va assez vite à résoudre il me semble

bonsoir
j'ai bien compris votre méthode et elle est plus facile au niveau du calcul , je manque un peu dextérité avec les notions liées aux espaces euclidiens , c'est pourquoi j'ai uniquement pense a une manière d'appliquer la formule du cours.
merci a vous

en appliquant votre methode je trouve v=(6/5, 3/5, 6/5, 0, 3/5)

Bonjour,
Pour savoir si ton v est bon, vérifie deux choses :
1) v est dans S.
2) u-v est orthogonal aux vecteurs d'une base de S.

Où S est l'ensemble des solutions du système.
Pour 2), utilise S = vect{(1,1,1,0,0), (-1,0,0,1,0), (0,-1,0,0,1)}.

Bonjour
même pas besoin d'une base ...

on lit sur les équations que l'espace sur lequel on projète est l'orthogonal de Vect((1,0,-1,1,0),(0,1,-1,0,1))

on cherche (x,y,z,t,u) qui est dans l'espace sur lequel on projète, donc qui vérifie x-z+t= 0 et y-z+u=0, et qui est tel que (x,y,z,t,u) -(1,1,1,1,1) est dans l'orthogonal de l'espace sur lequel on projète, donc combinaison linéaire des deux vecteurs du Vect, j'écris a fois le premier + b fois le second :

ainsi x-1 = a, y-1 = b, z-1 = -a-b, t-1=a, u-1=b

on en déduit x = t = a+1, y = u = b+1, z = 1-a-b, on reporte dans les équations : x-z+t = 0 donne 3a+b+1=0 et y-z+u= 0 donne a+3b+1=0, d'où a = b=-1/4, et le projeté cherché serait (3/4, 3/4,3/2,3/4,3/4), sauf erreur, toujours possible quand je calcule de tête ...

salut

Yosh2 @ 02-07-2021 à 22:34

Calculer donc déjà il y aura de toute manière du calcul !!! la projection orthogonal de u=(1,1,1,1,1) sur l'ensemble des sol du systemes   (S)

je trouve l'ensemble des solution vect{(1,1,1,0,0),  (-1,0,0,1,0),  (0,-1,0,0,1)} par une procédé d'orthonormalisation très pénible je trouve une bon B=(e1, e2, e3)  inutile et c'est là que tu te dépenses inutilement : seule la normalisation est nécessaire mais les vecteurs n'ont pas besoin d'être orthogonaux
puis je fais P(u) = (e1|e)e1 + ...+(e3|e)e3  les machines font, les hommes raisonnent et calculent

toutefois je me demande s'il n'y a pas une manière plus facile de faire ?

Bonjour,

Hum, carpediem. ce que tu écris ne va pas du tout !

j'avais un (très petit) doute car dans le plan le projeté orthogonal de u sur vec (v) est bien

(pourquoi) cela ne se généralise-t-il pas comme je l'ai écrit ?

et merci par avance !!

PS : j'ai bien vu que je ne trouvais pas la même chose mais je ne vois pas en quoi cela ne va pas ...

Ça ne va pas parce que ce que tu écris est faux.

Réfléchis aux arguments pour justifier ta démarche !

en fait il n'y a pas de

ouais en fait on devrait trouver P(v) = v, P(w) = w et P(t) = t

ce qui n'est pas le cas ...

Si tu veux calculer la projection orthogonale de sur le sous-espace de base comme

,

il faut bien que la base soit orthogonale. Sinon, il n'y a aucune raison pour que la projection orthogonale sur le sous-espace soit la somme des projections orthogonales sur les trois droites vectorielles engendrées par les .

effectivement !!

j'ai vérifié en prenant w = (1, 1, 1) et en projetant sur vec (i, j) = vec (i, i + j)

où (i, j, k) est "la" base canonique (orthonormée) de R^3

et on ne trouve pas la même chose !!

j'étais persuadé du contraire et pensais qu'un système générateur suffisait ... donc merci de m'avoir remis sur les rails !!!

bonsoir
moralité : un système générateur n'est ni nécessaire, ni suffisant !

si, il peut être suffisant avec la méthode indiquée le 2 à 23:11... du moins il me semble

exact !

qui plus est, personnellement je choisirais cette méthode car le système obtenu est particulièrement simple et se ramène rapidement à un système 3x3 quasiment triangulé