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projection orthogonale dans l espace
Bonjour à tous,
J'ai trouvé une solution pour un exercice, qui n'est pas je pense celle attendue. J'aimerais savoir déjà si ce que j'écris est correct, et quelle est la manière la plus efficace pour résoudre ce type d'exo.
Soit ABCDEFGH un cube et L le centre de gravité du triangle EGB.
a) En se plaçant dans le repère (D;DA;DC;DH) démontrer que le point L est le projeté orthogonal de F sur le plan (EGB).
J'ai commencé par calculer un vecteur normal au plan (EGB).
vect u(1;1;1) colinéaire aux vect EB et EG.
Soit I(1/2;1/2;1) milieu de [EG].
Je me suis dit qu'on pouvait utiliser le barycentre.
(vecteurs) 2/3IL+ 1/3BL=0
D'où L(2/3;2/3;2/3)
Or vect FL a pour coordonnées (-1/3;-1/3;-1/3). Donc vect FL et u sont colinéaires, et L et le projeté orthogonal de F sur le plan (EGB).
b) On me demande ensuite de recommencer cette démonstration sans utiliser de repère, et je ne trouve pas. Pourriez vous me donner une piste?
bonjour 
,
attention : vect u(1;1;1) colinéaire aux vect EB et EG.
n'est pas colinéaire , mais orthogonal de
et
pour ce petit a, c'est une bonne méthode comme tu as procédé.
je te dirai que je ne pense pas qu'il y a une méthode mieux qu'une autre, si ce raisonnement t'a paru naturel, il n'y a aucune raison de dire qu'il ne faut pas faire celui-ci.
bon, si tu en veut une autre, tu n'est pas obligé de chercher un vecteur normal du plan (EBG), au moment où tu as les coordonnées du vecteur , il te suffit de prendre deux vecteurs dirigeant la plan (EBG), comme par exemple
et
(je te rappelle qu'ils ne doivent pas être colinéaires entre eux)
puis de montrer qu'ils sont orthogonaux à en montrant par exemple que
ensuite pour trouver les coordonnées de L, tu aurais pu utiliser la propriété suivante:
L centre de gravité de EBG, donc L est isobarycentre de B, E, G
ce qui signifie:
et ainsi trouver les coordonnées, cela évite de chercher les coordonnées d'un point auxiliaire
pour le b, je vais regarder
pour le b,
il faut travailler sur l'orthogonalité de droites, comme tu dois t'en douter
mon principe ici, va être de te poser des question pour qu'à l'avenir, tu puisses avoir un raisonnement suffisant pour y arriver seul, parce qu'avant tout, il faut chercher en ce posant des questions (c'est ce que je fais en général pour résoudre les problèmes )
pour montrer qu'une droite est perpendiculaire à un plan, il suffit de montrer qu'elle est orthogonale à deux droites non parallèles contenues dans ce plan.
que sais tu à propos de la droite (EL)? elle est orthogonale à qu'elle droite? (n'oublies pas que L est le centre de gravité du triangle EBG, qui est équilatéral).
d'autre part, (EF) n'est elle pas aussi ortogonale à cette droite?
que peux tu en déduire du plan (EFL)? il est perpendiculaire à ...
et donc la droite (FL) est orthogonale à ...
bon, maintenant, je vais te dire que j'ai privilégié la droite (EL), mais si tu faisias la même chose pour la droite (BL) ou la droite (GL), regardes si tu peux pas aboutir à (FL) orthogonale à une autre droite du plan (BEG)
je te laisse réfléchir, je pense que je t'ai assez aiguillé
bon courage
"vect u n'est pas colinéaire , mais orthogonal de vect EG et EB"
hehe ma langue a fourché
Je me lance sur le b)...
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