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Projeté orthogonal et distance minimale
Bonjour à tous
j'aimerais faire le lien entre le projeté orthogonal sur un objet et le minimum de la distance à cet objet.
Déjà, est-ce ça peut être une autre définition possible de l'orthogonalité?
Ensuite, si je résume ce qu'on peut faire en Terminale
1) Projeté sur une droite.
Avec les distances, ça marche:
Dans le plan: avec une droite d'équation, la distance de A à un point de la droite est
.
C'est un polynôme en x de degré 2, avec un minimum au sommet qui est donc . Puis on déduit
Dans l'espace, idem avec une droite d'équation . La distance de A à un point de la droite est
.
Idem, polynôme en t de degré 2. t minimal donne le point H
2) Projeté sur un plan.
En Tle, on apprend à trouver H en passant par la droite orthogonale au plan passant par A, H étant son intersection avec le plan. Mais avec la méthode des distances, on tombe sur une fonction à 2 variables.
Exemple: plan d'équation , et
. En utilisant l'intersection du plan avec la droite normale passant par A, d'équation
, on trouve rapidement
Mais avec les distances, on a
Là, contrairement aux droites, je ne peux qu'exprimer une coordonnée en fonction des 2 autres, comme par ex
Et j'obtiens
Soit .
Là, comment montrer que le minimum de cette expression est bien en ?
salut
ce qui signifie que passer par les distances n'est pas la solution en terminale car tu n'as pas les outils pour ...
mais tu peux aussi étudier cette fonction à deux variables comme une fonction à une variable et l'autre en paramètres :
pour tout y fixé ce polynome est minimal lorsque x = -y/2 et vaut 3y^2 + 24
et enfin ce minimum est minimal (!!) lorsque y = 0
...
Bonjour,
Vous pouvez écrire :
2x²+2y² + 12 + 2xy = x²+2xy+y² + x² + y² + 12
= (x+y)² + x² + y² + 12
Le minimum de cette expression est 12, et il est bien atteint en (0,0).
Quant à montrer qu'il n'est atteint "que" en (0,0), c'est un peu plus délicat, il faut montrer que (x+y)² + x² + y² = 0 implique x = y = 0, mais en raisonnant un peu on y arrive assez facilement.
Merci à vous carpediem et LeHibou
L'astuce de fixer une variable, et de minimiser l'image du minimum obtenu, je n'y aurais pas pensé.
Et pareil pour l'écriture qu'avec des carrés! Du coup c'est (presque) prenable pour un Tle !!
Bravo et encore merci!
en fait j'étais parti initialement sur la même idée que LeHibou que je salue aussi mais j'avais fait
mais cette expression est plus pénible à travailler pour justifier le minimum de 12
celle de LeHibou est plus pratique ...
PS : je multiplie par 2 pour m'éviter des fractions ... car de toute façon un nombre et son double (donc tout autant qu'un nombre et sa moitié) varient de la même façon !!
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