Niveau seconde

Propriété

Posté par
Nynaa 31-12-11 à 17:55

Pouvez-vous me dire la ou les propriétés qui sont en rapport avec l'ensemble de définitions ?

Posté par re : Propriété 31-12-11 à 18:15

l'ensemble de définition d'une fonction
est l'ensemble des valeurs de l'ensemble de départ
qui admettent une image dans l'ensemble d'arrivée.

pour faire court : l'ensemble des valeurs x dont on peut calculer f(x)

Posté par Ensemble de définition d'une fonction 31-12-11 à 21:25

Bonsoir.

On peut simplement définir l'ensemble de définition d'une fonction $\mathfrak{f}$ ainsi : c'est l'ensemble des réels $x$ qui admettent une image par $\mathfrak{f}$ . Cet ensemble est noté $\mathcal{D}_{\mathfrak{f}}$ ( $\mathcal{D}$ pour « domaine de définition »).
Pour chercher le domaine de définition de $\mathfrak{f}$ , on cherche les valeurs de $x$ telles que $\mathfrak{f}$ soit définie, existe.

Je crois qu'il n'y a que 2 contraintes relatives à l'ensemble de définition en classe de seconde.

Tout d'abord, le dénominateur d'une fraction ne doit pas être nul étant donné que la division par $0$ n'est pas définie.
Déterminons par exemple l'ensemble de définition de $\mathfrak{f}(x) = \dfrac{1}{x - 3}$ .
Nous savons que pour que $\mathfrak{f}$ existe, il faut que $x - 3 \neq 0$ , c'est-à-dire que $x \neq 3$ .
Donc $\mathfrak{f}$ n'est pas définie pour $x = 3$ . Par conséquent, $\boxed{\mathcal{D}_{\mathfrak{f}} = \R - \lbrace 3 \rbrace}$ , à savoir $\boxed{\left]\,-\infty\;;\;3\,\right[ \cup \left]\,3\;;\;+\infty\,\right[}$ .
Remarque : La fonction inverse est définie sur $\R^*$ par $\mathfrak{f}\,(x) = \dfrac{1}{x}$ , sachant que $\R^* = \left]\,-\infty\;;\;0\,\right[ \cup \left]\,0\;;\;+\infty\,\right[$ .

Ensuite, si une expression présente un radical, le radicande doit être positif ou nul.
Comme illustration, trouvons l'ensemble de définition de $\mathfrak{g}(x) = \sqrt{x + 7}$ .
Pour que la fonction $\mathfrak{g}$ existe, il convient que $x + 7 \geqslant 0$ , d'où $x \geqslant -7$ .
Aussi, $\mathfrak{g}$ n'est pas définie pour $x < -7$ . C'est pourquoi $\boxed{\mathcal{D}_{\mathfrak{g}} = \left[\,-7\;;\;+\infty\,\right[}$ .

Attention : Ces 2 cas peuvent se rencontrer en même temps ! Voici 2 exemples qui le prouvent :
• lorsque nous sommes en compagnie d'une racine carrée au dénominateur d'un quotient, il faut que le radicande soit positif : si $\mathfrak{h}(x) = \dfrac{8x + 9}{\sqrt{2x - 4}}$ , alors $\boxed{\mathcal{D}_{\mathfrak{h}} = \left]\,2\;;\;+\infty\,\right[}$ ;
• quand une fraction admettant un radical au numérateur est présente : si $\mathfrak{i}(x) = \dfrac{\sqrt{x}}{x - 5}$ , alors $\boxed{\mathcal{D}_{\mathfrak{i}} = \left[\,0\;;\;5\,\right[ \cup \left]\,5\;;\;+\infty\,\right[}$ .

Enfin, concluons en disant que le domaine de définition est très pratique pour résoudre des équations notamment car il permet de désigner la (ou les) valeur(s) interdite(s) qui sera (ou seront) à rejeter si elle(s) est (sont) solution(s) de l'équation.

Bonne année 2012 !

Posté par re : Propriété 01-01-12 à 01:22

voilà un bel exposé de Jay-M
Et bonne année à vous tous

Posté par re : Propriété 13-02-12 à 00:01

Bonjour pgeod.

Merci !

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