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propriété du ppcm

Posté par jacko78 (invité) 10-09-05 à 11:34

Bonjour, j'ai un nouveau problème dans les groupes que je ne sais pas réoudre mais il semble q'il y ait des gens calés sur le sujets, donc peute tre pouuront ils me venir en aide la dessus...

Soit G un groupe abélien fini, de neutre e, noté multiplicativement.

a) Montrer que G possède un élément dont l'ordre est le ppcm des ordres des éléments de G.
b) Montrer que G est cyclique si et seulement si, pour tout entier m, le cardinal de l'ensemble des g de G tels que gm=e est inferieur ou egal  a m.
c) En deduire que tout sous-groupe fini du groupe multiplicatif d'un corps commutatif est cyclique.

Voila voila merci a tous si vous voyez une facon de proceder...
Merci

Posté par
piepalmre : propriété du ppcm 10-09-05 à 15:41

Il me semble que dans un groupe abélmien l'ordre du produit de deux éléments est le ppcm des ordres des éléments; en étendant ça au produit de tous les éléments...

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : propriété du ppcm 10-09-05 à 16:47

Attention piepalm,le produit de tous les éléments d'un groupe abélien fini est d'ordre au plus 2 puisque dans ce produit il ne restent que les éléments qui sont leur propres inverses (les autres se neutralisent avec leurs inverses qui figurent aussi dans ce produit).

Posté par jacko78 (invité)re : propriété du ppcm 10-09-05 à 17:17

donc au final comment dois je proceder???

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : propriété du ppcm 10-09-05 à 17:27

Oui jacko78;
tu considére un élément u de G qui soit d'ordre maximal c'est à dire que:
ord(u)=\max\{ord(v)/v\in G\}

Posté par jacko78 (invité)re : propriété du ppcm 10-09-05 à 17:42

Pourquoi exactement?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : propriété du ppcm 10-09-05 à 18:01

parce que si on cherche un élément dont l'ordre est le ppcm des ordres de tous les éléments de G il est naturel que cet élément soit d'ordre maximal (puisque tous les autres ordres le divisent)
Une condition nécéssaire donc sur l'élément cherché est qu'il soit d'ordre maximal
il reste à vérifier si cette condition est suffisante,autrement dit si d=ord(u) est maximal,a-t-on d=ppcm\{ord(v)/v\in G}?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : propriété du ppcm 10-09-05 à 19:10

Où en es tu jacko78 ?
Soit u\in G d'ordre maximal (il existe bien ce u puisque G est fini) on a:
\fbox{\forall v\in G\\ord(uv)=ppcm(ord(u),ord(v))\le ord(u)} donc \fbox{ord(u)=ppcm(ord(u),ord(v))} donc \fbox{ord(v)|ord(u)} et ceci étant vrai pour tout v\in G on a que
\fbox{ (ppcm\{ord(v)/v\in G\})|ord(u)} et comme on a déjà que \fbox{ord(u)|(ppcm\{ord(v)/v\in G\})} (puisque u figure parmi les v) on voit que finalement on a bien trouvé ce fameux élément

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : propriété du ppcm 11-09-05 à 03:18

\fbox{\Longrightarrow}
supposons G cyclique et soit u un générateur
avec \fbox{Card(G)=n\ge2} on a donc que:\fbox{G=\{e,u,..,u^{n-1}\}}
soit \fbox{m\ge1}
Combien y'a t il dans G d'éléments g tels que \fbox{g^m=e}
ce n'est pas difficile à trouver car g étant de la forme u^i avec 0\le i\le n-1 le problème revient à dénombrer l'ensemble \fbox{I=\{0\le i\le n-1/u^{im}=e\}}
et comme \fbox{ord(u)=n} on a que \fbox{I=\{0\le i\le n-1/n|im\}=\{0\le i\le n-1/\exists j\in\mathbb{N}/jn=im\}}
posons alors \fbox{J=\{j\in\mathbb{N}/\frac{jn}{m}\in\{0,..,n-1\}\}}
il est facile de voir que l'application:\fbox{\{{I\to J\\i\to\frac{im}{n}} est bijective donc \fbox{Card(I)=Card(J)}
et on voit que
\fbox{J\subset\{j\in\mathbb{N}/0\le\frac{jn}{m}\le n-1\}=\{j\in\mathbb{N}/0\le j\le\frac{m(n-1)}{n}\}\subset\{0,..,m-1\}} puisque \fbox{\frac{m(n-1)}{n}<m}
d'où \fbox{Card(I)\le m} CQFD

Posté par jacko78 (invité)re : propriété du ppcm 11-09-05 à 14:06

merci elhor j'étais sur la bonne voie mais je n'avais pas pensé a utiliser la bijection de I vers J merci beaucoup...

Pour le retour je dois supposer card(I)m avec I={gG/gm=e}

donc en fait je pensais I={gG/ ord(g)|m}

et la je pensais qu'il serait possible de faire intervenir la question a) car on sait qu'il existe un element dont l'ordre est le ppcm (etc...) et selon moi ce doit etre le générateur mais j'arrive pas bien a mettre tout ca en place.

Posté par jacko78 (invité)re : propriété du ppcm 11-09-05 à 14:51

où utiliser card(I) inferieur ou egal a m ?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : propriété du ppcm 11-09-05 à 15:01

jacko78;
\fbox{\Longleftarrow}
soit u\in G tel que \fbox{m=ord(u)=ppcm\{ord(v)/v\in G\}} on alors
\fbox{\forall v\in G\\v^m=e} d'où \fbox{\{g\in G/g^m=e\}=G} et donc \fbox{Card(G)=n\le m} ie \fbox{m=n} ainsi:
\fbox{G=\{e,u,..,u^{n-1}\}} CQFD

Posté par jacko78 (invité)re : propriété du ppcm 11-09-05 à 16:06

Merci de toute cette aide elhor_abdelali c'est sympa.
Le c) doit etre une application directe je pense, non?

il doit juste falloir prouver qu'il existe un entier m qui convient a la b) pour qu le sous_groupr soit cyclique...?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : propriété du ppcm 11-09-05 à 16:32

Soit (\mathbb{K},+,\times) un corps commutatif de neutres respectifs 0 et 1 et G est un sous-groupe fini du groupe (\mathbb{K}^*,\times)
pour m\in\mathbb{N} notons I_m=\{g\in G/g^m=1\} et P\in\mathbb{K}[X],P(X)=X^m-1 on voit alors que tout élément de I_m est une racine de P qui a au plus m racines distinctes dans \mathbb{K}.
Conclure...


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