Niveau Reprise d'études

propriétés de la distance

Posté par
louetcharles 01-01-21 à 19:09

Bonjour

Soit X =[0,+oo[ et d(x,y) = exp(-min(x,y)) - exp(-max(x,y))

Prouver que d est bien une distance

J'ai prouvé que d était positive, que d(x,y)=0 ssi x=y et que d(x,y)=d(y,x)

Je coince sur la preuve de l'inégalité triangulaire.

Merci.

Posté par re : propriétés de la distance 01-01-21 à 19:31

Bonjour,
Je n'ai pas essayé mais as tu tenté en supposant 0<x<y<z inégalités larges pour déjà "voir" ce qui se passe?

Posté par re : propriétés de la distance 01-01-21 à 20:24

salut

en notant m(x, y) et M(x, y) le min et le max ...

on veut montrer que $d(x, z) \le d(x, y) + d(y, z)$

donc que $e^{-m(x, z)} - e^{-M(x, z)} \le e^{-m(x, y)} - e^{-M(x, y)} + e^{-m(y, z)} - e^{-M(y, z)}$

soit encore que $e^{-m(x, z)} - e^{-m(x, y)} - e^{-m(y, z)} \le e^{-M(x, z)} - e^{-M(x, y)} - e^{-M(y, z)}$

fais alors une disjonction de cas :

m(x, y) = x et M(x, y) = y
m(x, y) = y et M(x, y) = x

et regarde ce qui se passe en considérant les variations de la fonction f(x) = exp (-x)

ou alors le TAF permet d'écrire que :

$e^{-m(x, z)} - e^{-M(x, z)} \le e^{-m(x, z)} [M(x, z) - m(x, z)] = e^{-m(x, z)} |x - z|$

$e^{-M(x, y)}|x - y| + e^{-M(y, z)}|y - z| \le e^{-m(x, y)} - e^{-M(x, y)} + e^{-m(y, z)} - e^{-M(y, z)}$

à voir ...