Bon,
Alors deja une courbe elliptique sur un corps quelconque k, c'est plus ou moins ce que tu dis oui (il faut rajouter un point à l'infini) en fait une courpe ellitpîque sur k c'est tout simplement une courbe projective lisse de genre 1.
Sur C c'est donc un tore en tant qu surface de Riemann, donc une courbe elliptique complexe c'est tout simplement C/L ou L est un resau de C. C'est donc un groupe de Lie complexe.
Maintenant tu dois certaineemnt savoir que le corps des fonctions meromorphes sur C/L c'est C[p,p'] ou p est la fonction de Weierstrass associée au reseau.
Or ces deux fonctions vérfient la relation p'²=4p^3-g_2p-g_3 ce qui forunit un isomorphisme de surfaces de riemann (et de groupes de Lie complexes) entre C/L et une courbe elliptique disons "algébrique"( encore faut il montrer que les fonctions moromorphes sont rationnelles ce qui est trivial, et que la loi de groupe est algébrique ce qui est plus dur...)
Bon maintenant sur C, une isogénie entre C/L et C/L' c'est un isomorphisme de groupe de Lie (ou plus simplement un morphisme de durfaces de riemann verifiant f(0)=0, on peut montrer que cette condition suffut afaire de f un morphisme de groupes). Ca correspond a la notion classique d'isogénie mais on peut s'en passer sur C. Mainteant les isogénies entre E et E' sont paramétrées par C, et deux courbes elliptiques sont isogènes sur C (donc diffeomorphes) ssi les resau qui les definissent sont homotetiques...
Bon ca apr
Voila pour les courbes elliptiques sur C