Bonjour,

avec beaucoup d'imagination on peut remarquer que (sauf erreur de ma part)

a+b+c = a+b+c est donné
a²+b²+c² = (a+b+c)(a+b+c) - 2(ab+bc+ac) ce qui permet de calculer ab+bc+ac puisque tout le reste est connu
a³+b³+c³ = (a+b+c)(a²+b²+c²) - (ab+bc+ac)(a+b+c) + 3abc ce qui permet de calculer abc puisque le reste est connu
a⁴+b⁴+c⁴ = (a+b+c)(a³+b³+c³) - (ab+bc+ac)(a²+b²+c²) + abc(a+b+c) et on les utilise pour obtenir a⁴+b⁴+c⁴
a⁵+b⁵+c⁵ = (a+b+c)(a⁴+b⁴+c⁴) - (ab+bc+ac)(a³+b³+c³) + abc(a²+b²+c²) puis a⁵+b⁵+c⁵

de façon générale que :

aⁿ+bⁿ+cⁿ = (a+b+c)(a^n-1+b^n-1+c^n-1) - (ab+bc+ac)(a^n-2+b^n-2+c^n-2) + abc(a^n-3+b^n-3+c^n-3) pour n > 2
ce qui permet de calculer de proche en proche tous les aⁿ+bⁿ+cⁿ pour n > 3

(le démontrer en développant effectivement tout ça soigneusement)

autre méthode on évite de calculer a⁴+b⁴+c⁴ :
(a³+b³+c³)(a²+b²+c²) = a⁵ + b⁵ + c⁵ plus des trucs en trop qu'on élimine de la même façon que précédemment en faisant intervenir les abc et ab+bc+ac (fonctions symétriques)

mais c'est moins clair.

Bonjour,

Un joli niveau de 2nde !

La tentation de dire que c'est egale a 5 est forte...

Waw !!!
C 'est vraiment impressionnant
Merci mathafou

Je dois tout relire  -attentivement -pour comprendre ..

la difficulté est que bien entendu le calcul affreux de a,b,c eux mêmes est inextricable (équation de degré 3)
on n'essaiera même pas.
au mieux avec un logiciel de calcul formel...

surtout qu'il n'existe pas de nombres tous réels a,b,c tels que a+b+c=1, a²+b²+c²=2, a³+b³+c³ = 3 !!
un seul de a,b,c est réel les deux autres sont des nombres complexes ( = imaginaires, cours de Terminale)

donc on ne pourra même pas vérifier numériquement que la valeur trouvée est bien la bonne !!
ou peut être si, avec le logiciel qui va calculer ces horreurs d'élever à la puissance 5 des nombres imaginaires dont l'expression littérale tient sur une demi-page ...

donc on calcule a⁵+b⁵+c⁵ sans calculer a,b,c eux même, avec la méthode que je préconise, ou une méthode équivalente.

je doute de toute façon qu'un tel exo soit vraiment du niveau seconde sans être guidé pas à pas par des questions intermédiaires...

oui, dommage, effectivement deux des 3 nombres a;b;c sont imaginaires (mais conjugués)
mais a⁵+b⁵+c⁵ = 13/3 disent les calculs automatiques.

donc il doit y avoir une astuce pour trouver a⁵+b⁵+c⁵ sans calculer explicitement a;b;c

oui, l'astuce c'est comme j'ai dit, par exemple.

un exemple de calculs

je pars à titre d'exemple de a = 1, b = 2, c = 3 avec le nouvel énoncé en oubliant que je connais ces valeurs :

a+b+c = 6
a²+b²+c² = 14
a³+b³+c³ = 36

après avoir démontré mes formules générales précédentes.
aucune difficulté, juste du soin et de la patience pour effectuer des développements.
la principale question est qui donc pourrait bien avoir l'idée en second de les imaginer ??

donc on a :
a²+b²+c² = (a+b+c)(a+b+c) - 2(ab+bc+ac)
soit 14 = 6*6 - 2(ab+bc+ac) et donc la valeur de ab+bc+ac = (36-14)/2 = 11
(on peut si on n'est pas convaincu vérifier que c'est vrai puisque en fait on connait dans cet exemple artificiel les valeurs de a,b,c)

étape suivante :
a³+b³+c³ = (a+b+c)(a²+b²+c²) - (ab+bc+ac)(a+b+c) + 3abc
soit 36 = 6*14 - 11*6 + 3abc
et donc abc = (36 - 6*14 + 11*6)/3 = 18/3 = 6
(ce que St Thomas peut vérifier aussi)

et maintenant on peut calculer :

a⁴+b⁴+c⁴ = (a+b+c)(a³+b³+c³) - (ab+bc+ac)(a²+b²+c²) + abc(a+b+c)
soit
a⁴+b⁴+c⁴ = 6*36 - 11*14 + 6*6 = 98

puis
a⁵+b⁵+c⁵ = (a+b+c)(a⁴+b⁴+c⁴) - (ab+bc+ac)(a³+b³+c³) + abc(a²+b²+c²)
soit
a⁵+b⁵+c⁵ = 6*98 - 11*36 + 6*14 = 276

et on vérifie bien comme St Thomas que 1⁵ + 2⁵ + 3⁵ = 1 + 32 + 243 = 276

c'est ce genre de calculs qu'il "suffit" de faire avec les données de l'énoncé à la place de 6, 14, 36
bien entendu en ayant prouvé explicitement les formules d'abord !!
(développements niveau seconde une fois qu'on a dit ce qu'il fallait démontrer comme formules !!)

C'est sans doute un prof qui veut developper la prise d'initiative chez les eleves le plus tot possible