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puissance d un point par rapport à un cercle==>bambi06
Soit M un point du plan extérieur à un cercle (C) de centre O et de rayon R.
Deux droites passant par M sont sécantes à (C) en A et B pour l'une, C et D pour l'autre.
1.Démontrer que les triangles AMD et BMC sont semblables.
En déduire: MA x MB = MC x MD.
2.La droite (MO) est sécante à (C) en E et F.
Montrer l'égalité: ME x MF = MO²-OE².
3.On pose: OM = d.
Déduire des questions précédentes que le produit MA x MB ne dépend pas de la sécante choisie, et qu'il est égal à d²-R².
Le réel d²-R² est appelé puissance du point M par rapport au cercle (C).
4.La droite (MT) est tangente en T au cercle (C).
Montrer l'égalité: MA x MB = MT².
5.Utiliser l'égalité précédente pour prouver que les triangles MAT et MTB sont semblables.
6.Montrer que les angles ABT et ATM ont la même mesure.
1) AMD = BMC et ABC = ADC par cocyclicité donc comme les angles d'un triangles font 180° tu as BCM = DAM ;les triangles AMD et BMC sont semblables.
et comme ils sont semblables tu as DC/AB = DM/BM=MA/MC d'ou la reponse
2)ME*MF=(MO-OE)*(MO+OF)=(MO-OE)*(MO+OE)=MO2-OE2 grace a une identité remarquable
3)en remplacant dans 1) c et D par E et F(puisque c t vrai pour toutes droites passant par M et coupant le cercle et 2 points) tu obtient MA*MB=ME*MF et 2) te donne MA*MB=MO2-OE2 donc MA*MB=d2-R2et donc ne depend pas de la secante choisie
4)MA*MB=d2-R2 et grace a pythagore dans MTO tu obtient MT2=d2-R2 donc MA*MB=MT2
5)la question4) donne MA/MT=MT/MB et tu as AMT=BMT donc les traingles sont semblables
6)Comme MAT et MTB sont semblables, les angles de l'un sont egaux aux angles de l'autre et comme BMT=AMT et ATM = MBT ou BTM la seconde solution n'est pas possible car BTM=BTA+ATM > ATM donc ATM= MBT=ABT
bonjour a tt ceux qui vont bien vouloir m'aider!
bon voila le probleme c'est que je n'ai pas compris exacrement toute les demarche que mme-irma a utiliser donc si quelqu'un pourrait m'aider en detaillant un peu plus ou au moin en m'expliquant ca serait cool parce que c'est pour mardi!!
merci a tout le monde
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