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Puissance de puissance de puissance et règle de calcule

Posté par
hbx360 31-08-21 à 11:12

Bonjour il y a quelque chose que je ne comprends pas sur les règles de calcule sur les puissance, car sur un même calcule j'ai 2 résultats différents voici ce que j'ai fait :

\left( 2^{2^{2}}\right)^2 = \left(2^{4} \right)^2 = 16^2 = 256

et si je fais :

\left( 2^{2^{2}}\right)^2 = 2^{2^{2*2}} = 2^{2^{4}} = 2^{16} = 65 536

Merci d'avance.

Posté par
caritare : Puissance de puissance de puissance et règle de calcule 31-08-21 à 11:18

bonjour



\left( 2^{2^{2}}\right)^2 = 2^{2^{2*2}} = \color{red} 2^{2^{4}} = 2^{16} = 65 536

Merci d'avance.

Posté par
caritare : Puissance de puissance de puissance et règle de calcule 31-08-21 à 11:19

bonjour
pardon, le bouton aperçu a changé de place... j'ai posté trop vite.
je refais...

Posté par
caritare : Puissance de puissance de puissance et règle de calcule 31-08-21 à 11:24

l'erreur est signalée en rouge

\left( 2^{2^{2}}\right)^2 = \color{red}  2^{2^{2*2}} \color{black} =2^{2^{4}} = 2^{16}

le calcul correct est

\left( 2^{2^{2}}\right)^2 = 2^{(2^2)\times 2} =  2^{4\times2} = 2^{8}=256

Posté par
hbx360re : Puissance de puissance de puissance et règle de calcule 31-08-21 à 11:32

Carita merci pour ta réponse mais pourquoi c'est pas le dernier exposant dans la parenthèse qui est considéré parce qu'en on fait

\left( 2^{2}\right)^2 on prends bien le dernier exposant on ne fait pas 2^{2}*2 mais 2^{2*2} = 2^{4}.

Posté par
caritare : Puissance de puissance de puissance et règle de calcule 31-08-21 à 11:41

je détaille


\left( 2^{2^{2}}\right)^2 = 2^{(2^2)\times 2}
là,  j'utilise la règle (an)m = an*m   ---- a puissance n fois m
avec
n = 22
et m = 2

d'où
\left( 2^{2^{2}}\right)^2 = 2^{4\times 2} =  2^{8} = 256  

est-ce plus clair ainsi ?

Posté par
hbx360re : Puissance de puissance de puissance et règle de calcule 31-08-21 à 14:08

Oui c'est plus claire merci pour tes explications.

Posté par
hbx360re : Puissance de puissance de puissance et règle de calcule 31-08-21 à 14:57

Mais quand on fait par exemple

2^{2^{2^{2}}}

on commence de haut en bas ou de bas en haut parce que sinon je n'obtiens pas le même résultat.

De haut en bas j'obtiens :

2^{2^{2^{2}}} = 2^{2^{4}} = 2^{16} = 65536

De bas en haut :

2^{2^{2^{2}}} = 4^{2^{2}} = 16^{2}} = 256

Et une autre question si j'avais mis un exposant supplémentaire :

\left( 2^{2^{2^{2^{2}}}}\right)^2 où est-ce que je dois mettre l'exposant qui est en dehors des accolades ?

Dois-je faire comme ceci :

\left( 2^{2^{2^{2^{2}}}}\right) ^2= \left( 2^{2^{2^{2^{2}}}*2}\right)

Posté par
caritare : Puissance de puissance de puissance et règle de calcule 31-08-21 à 15:59

en l'absence de parenthèses,
ce sont les exposants les plus hauts qui sont calculés les premiers.

pour reprendre ta formulation, la priorité est de "haut en bas".
ainsi ce que tu as écrit est exact :   2^{2^{2^{2}}} = 2^{2^{4}} = 2^{16} = 65536


pour ta seconde question, qui rejoint finalement la question initiale de ce fil,
les parenthèses obligent en effet au calcul que tu as écrit : c'est l'exposant en rouge qui est multiplié par 2

\left( 2\color{red}^{2^{2^{2^{2}}}}\color{black}\right) ^2=  2^{(\color{red}2^{2^{2^{2}}}\color{black}*2)}

Posté par
hbx360re : Puissance de puissance de puissance et règle de calcule 31-08-21 à 17:49

Merci bien pour la confirmation.

Posté par
hbx360re : Puissance de puissance de puissance et règle de calcule 31-08-21 à 18:10

carita @ 31-08-2021 à 15:59


les parenthèses obligent en effet au calcul que tu as écrit : c'est l'exposant en rouge qui est multiplié par 2

\left( 2\color{red}^{2^{2^{2^{2}}}}\color{black}\right) ^2=  2^{(\color{red}2^{2^{2^{2}}}\color{black}*2)}


Mais comment tu as su que c'était comme ça qu'il fallait faire pour les priorités sur les exposants quand il y a des parenthèses par ce que moi je pensais qu'on devait prendre le dernier exposant et le multiplier par l'exposant se trouvant en dehors des parenthèse comme ceci :

\left( 2^{2^{2^{2^{\color{red}2}}}}\color{black}\right) ^2= 2^{2^{2^{2^{\color{red}2\color{black}*2}}}}

En fait je me basais sur le cours donc \left( a^{^n}\right)^m = a^{n*m} et je pensais donc que si on avait plusieurs exposants on faisait comme dans le cours on prenait le dernier exposant donc n en faisant comme ça :

\left( {b^{a^{n}}}\right)^m = b^ {a^{n*m}}\right)

Comment tu as su qu'il fallait faire comme tu m'as dit, est-ce que tu as vue sa dans un cours ? Parce que je n'ai jamais vu autre chose que cette règle de calcule pour les puissances

\left( a^{^n}\right)^m = a^{n*m}.

Je n'ai jamais vu de règles de calcules pour les puissances étagés.

Posté par
caritare : Puissance de puissance de puissance et règle de calcule 31-08-21 à 18:57

carita @ 31-08-2021 à 15:59

\left( 2\color{red}^{2^{2^{2^{2}}}}\color{black}\right) \color{blue}^2\color{black} =  2^{(\color{red}2^{2^{2^{2}}}\color{black}* \color{blue}2\color{black})}


j'applique 'simplement' la règle (a^n)^m = a^(nm),  avec ici n = 2^{2^{2^{2}}}

dans le membre de gauche, le dernier "2", que j'ai mis en bleu, signifie le carré de toute la parenthèse.
on va donc multiplier par 2 la totalité de l'exposant (rouge), et non pas seulement le dernier "2" rouge.

ok?

je viens de te chercher un lien sur les exposants à étages
j'ai trouvé sur ce site  

peut-être un autre intervenant t'en indiquera d'autres ?

Posté par
caritare : Puissance de puissance de puissance et règle de calcule 31-08-21 à 19:23

hbx360 @ 31-08-2021 à 18:10

... je pensais donc que si on avait plusieurs exposants on faisait comme dans le cours on prenait le dernier exposant donc n en faisant comme ça :
\color{red}\left( {b^{a^{n}}}\right)^m = b^ {a^{n*m}}\right)


eh non... prenons un exemple, et calculons séparément :

calcul correct :   ({5^{2^{3}}})^4 =  ({5^{8}})^4 =  {5^{8\times4}} =  {5^{32}}

.... résultat qui n'est  pas égal à :  5^ {2^{3\times4}} = 5^ {2^{12}} =  5^ {4096}  

Posté par
hbx360re : Puissance de puissance de puissance et règle de calcule 01-09-21 à 14:28

Merci pour ta réponse comme quoi des fois on peut interpréter les choses différemment. Merci pour le lien.

Posté par
caritare : Puissance de puissance de puissance et règle de calcule 01-09-21 à 15:43

avec plaisir
bonne suite !


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