Niveau Reprise d'études

Puissances de nombres premiers

Posté par
Meiosis 04-02-24 à 10:28

_{* Modération >} *** Bonjour ***

Soit $n$ un entier naturel > 1, $\varphi(n)$ l'indicatrice d'Euler de l'entier $n$ , $\sigma(n)$ la somme des diviseurs de l'entier $n$ et $P_n$ le n-ième nombre premier.

Considérons l'expression $A = \varphi(|\sigma(n)-P_{n+2}|)+1$
On se concentre sur les cas pour lesquels $A \equiv 3 \mod 20$ .

Dans ces cas, il y aurait toujours 2 possibilités :

1) Soit A est premier
2) Soit A n'est pas premier et dans ces cas là on calcule $P_{n+2}-\sigma(n)=p^k$ où $p$ est un nombre premier et k un entier naturel supérieur ou égal à 2.

La conjecture a été testée jusqu'à n=52638812

Si n=52638812 on a F(n)=10549870323 qui n'est pas premier mais $P_{n+2}-\sigma(n)=47^6$

Ce que j'ai essayé de faire et qui est différent de la dernière fois c'est que j'ai généralisé à la puissance k (par exemple ici k=6) et non plus seulement au carré de nombres premiers.

J'ai aussi essayé de démontrer cette conjecture, voici ma tentative :

$F(n) \equiv 3 \mod 20$ , alors $P_{n+2}$ est un nombre premier. De plus, $F(n)$ est impair si et seulement si $P_{n+2} - \sigma(n)$ est positif et impair. Par conséquent, $F(n)$ est soit un nombre premier, soit la puissance d'un nombre premier.