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Puissances de nombres premiers

Posté par
Meiosis
04-02-24 à 10:28

* Modération >   *** Bonjour ***

Soit n un entier naturel > 1, \varphi(n) l'indicatrice d'Euler de l'entier n, \sigma(n) la somme des diviseurs de l'entier n et P_n le n-ième nombre premier.

Considérons l'expression A = \varphi(|\sigma(n)-P_{n+2}|)+1
On se concentre sur les cas pour lesquels A \equiv 3 \mod 20.

Dans ces cas, il y aurait toujours 2 possibilités :

1) Soit A est premier
2) Soit A n'est pas premier et dans ces cas là on calcule P_{n+2}-\sigma(n)=p^kp est un nombre premier et k un entier naturel supérieur ou égal à 2.

La conjecture a été testée jusqu'à n=52638812

Si n=52638812 on a F(n)=10549870323 qui n'est pas premier mais P_{n+2}-\sigma(n)=47^6

Ce que j'ai essayé de faire et qui est différent de la dernière fois c'est que j'ai généralisé à la puissance k (par exemple ici k=6) et non plus seulement au carré de nombres premiers.

J'ai aussi essayé de démontrer cette conjecture, voici ma tentative :

F(n) \equiv 3 \mod 20, alors P_{n+2} est un nombre premier. De plus, F(n) est impair si et seulement si P_{n+2} - \sigma(n) est positif et impair. Par conséquent, F(n) est soit un nombre premier, soit la puissance d'un nombre premier.

Posté par
Meiosis
re : Puissances de nombres premiers 04-02-24 à 10:32

Je me suis trompé dans les notations. Ce n'est pas F(n) mais A

Posté par
Meiosis
re : Puissances de nombres premiers 04-02-24 à 17:01

Ma démonstration est fausse.

Est-ce que quelqu'un a une idée ou autre svp ?

Merci.



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