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Q divise 2^p - 1 donc 2p divise q-1 (q et p premiers)

Posté par
Creaptis 24-10-18 à 17:33

Bonjour,
J'ai du mal avec l'énoncé suivant :
"Montrer que si p est premier et q est un diviseur premier de 2^(p) - 1 alors q est congu à 1 modulo 2p"

Je ne suis arrivé qu'à observer que 2^(p) - 1 est congru à 1 modulo 2p et je ne trouve pas de piste.

Merci d'avance pour toute indication

Posté par
carpediemre : Q divise 2^p - 1 donc 2p divise q-1 (q et p premiers) 24-10-18 à 17:49

salut

donc 2^p - qn = 1 => 2 - qn \equiv 1 [p] \iff qn \equiv 1  [p]

par le théorème de Fermat

ouais bof

puisque q \equiv 1  [2]   il suffit de montrer que   q \equiv 1  [p]

Posté par
matheuxmatoure : Q divise 2^p - 1 donc 2p divise q-1 (q et p premiers) 24-10-18 à 17:54

c'est curieux ce que j'obtiens pour p=2 et q=3...

(bonsoir à vous deux)

Posté par
carpediemre : Q divise 2^p - 1 donc 2p divise q-1 (q et p premiers) 24-10-18 à 18:05

salutt mm

ouais tu chipotes là !!!   ... mais tu as raison tout de même bien sur !!!

je pense qu'on suppose p non pair !!!

Posté par
matheuxmatoure : Q divise 2^p - 1 donc 2p divise q-1 (q et p premiers) 24-10-18 à 18:06

ah ben oui mais j'ai égaré ma boule cristal !

Posté par
carpediemre : Q divise 2^p - 1 donc 2p divise q-1 (q et p premiers) 24-10-18 à 18:21

Posté par
Creaptisre : Q divise 2^p - 1 donc 2p divise q-1 (q et p premiers) 24-10-18 à 18:24

Oui milles excuses j'ai oublié de préciser p est impair 😯

Posté par
matheuxmatoure : Q divise 2^p - 1 donc 2p divise q-1 (q et p premiers) 24-10-18 à 18:27

10 coups de fouet !

Posté par
Creaptisre : Q divise 2^p - 1 donc 2p divise q-1 (q et p premiers) 24-10-18 à 18:43

Je ne parviens vraiment pas à montrer que q=1[p]

Posté par
carpediemre : Q divise 2^p - 1 donc 2p divise q-1 (q et p premiers) 24-10-18 à 18:57

n = 2^p - 1 = 1 + 2 + ... + 2^{p - 1} admet un diviseur si il peut s'écrire : n = (1 + 2 + ... + 2^k)(1 + 2^{k + 1} + 2^{2k + 2} + 2^{3k + 3} + ... + 2^{p - 1 - k})

les deux diviseurs sont bien impairs

Posté par
perroquetre : Q divise 2^p - 1 donc 2p divise q-1 (q et p premiers) 25-10-18 à 04:49

Bonjour, Creaptis .

Une idée est de déterminer l'ordre de \dot {2} dans le groupe des éléments inversibles de \mathbb Z/q\mathbb Z.

Posté par
flightre : Q divise 2^p - 1 donc 2p divise q-1 (q et p premiers) 25-10-18 à 13:49

salut

cet exo me  parait un peu evident 2p-1 est toujours un nombre premierquelque soit p premier  alors si q est un diviseur de  2p-1   q est forcement 1 ou q est forcement 2p-1   ...non ?

Posté par
luzakre : Q divise 2^p - 1 donc 2p divise q-1 (q et p premiers) 25-10-18 à 14:39

Bonjour !

Citation :
2^p-1 est toujours un nombre premier quelque soit p premier

C'est faux : 2^{11}-1=2047=23*89.

Posté par
polore : Q divise 2^p - 1 donc 2p divise q-1 (q et p premiers) 25-10-18 à 14:42

flight @ 25-10-2018 à 13:49

salut

cet exo me  parait un peu evident 2p-1 est toujours un nombre premierquelque soit p premier  alors si q est un diviseur de  2p-1   q est forcement 1 ou q est forcement 2p-1   ...non ?


Salut,
C'est la réciproque qui est juste :
2^n-1 \text{ premier } \Rightarrow n \text{ premier }

Posté par
Creaptisre : Q divise 2^p - 1 donc 2p divise q-1 (q et p premiers) 25-10-18 à 21:59

bonsoir perroquet,
l'ordre de 2 divise p et donc l'ordre de 2 est p dans Z/pZ,

Posté par
Creaptisre : Q divise 2^p - 1 donc 2p divise q-1 (q et p premiers) 25-10-18 à 22:03

Z/qZ*

Posté par
Creaptisre : Q divise 2^p - 1 donc 2p divise q-1 (q et p premiers) 25-10-18 à 22:10

et bonsoir carpediem,
oui je vois bien que q est impair, mais je ne vois pas la suite :/

Posté par
perroquetre : Q divise 2^p - 1 donc 2p divise q-1 (q et p premiers) 25-10-18 à 23:48

@Creaptis

Il ne reste plus qu'à écrire que l'ordre d'un élément divise le cardinal du groupe ...

Posté par
Creaptisre : Q divise 2^p - 1 donc 2p divise q-1 (q et p premiers) 26-10-18 à 14:37

En effet je suis pas très malin ... merci beaucoup !


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