Bonjour,

J'ai fait 2 exercices sur l'espace mais je bloque sur certaine question, pouvez-vous m'aider?

Voici l'énoncé:

Exercice 1:
On considère un tétraèdre régulier ABCD d'arête a. On note O le centre de ma sphère circonscrite au tétraèdre et A' le centre de la face BCD.
Dire si les propositions suivantes sont vraies ou fausses et justifier votre réponse.

1) O est l'isobarycentre des sommets du tétraèdre.
2) vecteur AO=2/3 vecteur AA'
3) Le rayon de la sphère circonscrite au tétraèdre est égale à (aV6)/4 (V représente la racine).
4) cos AOB=-1/3
5) Le volume du tétraèdre AA'BC est (a^3V2)/12

Exercice 2:

L'espace est rapporté au repère orthonormal (vecteur) (O; i ; j; k). Soit S la sphère de centre W (1; 1;-1) et de rayon  2V2. On considère les points A et B de S de coordonnées respectives (-1;-1;-1) et (1; 1; 2V2-1 et on note P et Q les plans tangents en A et B, respectivement, à la sphère S.

Dire si les propositions suivantes sont vraies ou fausses et justifier votre réponse.

1) Une équation cartésienne de P est: x+y-z+1=0
2) Les plans P et Q sont perpendiculaires.
3) Les plans P et Q sont sécants suivant une droite dont une représentation paramétrique est:

x=t
y=-t+2, t appartient à R
z=-2V2-1

4) La distance du point W au plan P est égale à 4.
5) Soit H le projeté orthogonal de W sur la droite D, la distance HW est égale à4.
6) L'ensemble des points  M (x; y; z) vérifiant x+y+2>_ 0 est le demi espace contenant O, de frontière W
Plan d'équation x+y+2=0.

Voici que j'ai fait:

Exercice 1:

1) O est le centre gravité du tétraèdre ABCD, c'est-à-dire l'isobarycentre des points, A, B, C, D.
Car dans les triangles ABC, BDC, ABD, ADC sont équilatéraux puisque c'est un tétraèdre régulier.
De plus, les médianes de ces triangles se coupent en un même point O et leur point commun est appelé centre de gravité du  tétraèdre.
(De même, le centre gravité de A' du triangle BCD est l'isobarycentre des points B, C, D.)
O appartient à la droite (AA') (les points A et A' sont distincts car A n'appartient pas au plan (BCD)).
O appartient donc à la droite passant par le sommet A du tétraèdre et le centre gravité de la face opposée.
Le même raisonnement pouvant être appliqué aux trois autres sommets B, C, D, on obtient: les droites passant par un sommet et le centre gravité de la face opposé d'un tétraèdre sont concourantes en son centre de gravité.
Donc si O est le centre gravité du tétraèdre ABCD alors O est l'isobarycentre des sommets du tétraèdre.
Donc VRAI.

2) Le théorème du barycentre partiel prouve alors que O est le barycentre des points massifs (A,1) et (A', 3);
On a donc (ce sont des vecteurs):

OA+ 3 OA'=0
OA+ 3(OA+AA‘)=0
OA+3OA+3AA'=0
4OA=-3AA'
4AO=3AA'
Soit : AO=(¾)AA'

Donc FAUX.

3) Je ne vois pas comment faire.

4) J'ai pensé d'utiliser la trigo mais ce n'est pas possible.

5)Aire du triangle équilatéral: BD*BCV3/4= a²V3/4
hauteur:AA'=a
Volume:1/3*h*base=1/3*a*a²V3/4=a3^V3/12
Donc FAUX.

Exercice 2:

1/Soit M (x,y,z) un point quelconque de l'espace.
M appartient P
( vecteurs) W.AM=0
Or, W(1,1,-1) et AM(x+1;y+1; z+1)
Donc W.AM=0
(1)(x+1)+(1)(y+1)+(-1)(z+1)=0
x+1+y+1-z-1=0
x+y-z+2-1=0
x+y-z+1=0
Donc VRAI.

2/Soit M (x,y,z) un point quelconque de l'espace.
M appartient Q
( vecteurs) W.AM=0
Or, W(1,1,-1) et AM(x-1;y-1; z-2V2+1)
Donc W.AM=0
(1)(x-1)+(1)(y-1)+(-1)(z-2V2+1)=0
x-1+y-1-z+2V2-1=0
x+y-z+2V2-3=0
Les équations:
P  x+y-z+1=0
Q  x+y-z+2V2-3=0
Ont pour coordonnées:
P(1;1;-1)
Q(1;1;-1)
Ces 2 coordonnées sont proportionnels, les plans P et Q ne sont pas sécantes et dont pas perpendiculaires.
Donc FAUX.

3/voir ci dessus .FauxEst-ce que cela suffit pour la justification?

4/formule de la distance d'un point à un plan: d(A;P)= IaxA+byA+czA+dI/V(a²+b²+c²
d(W;P)=I1*1+1*1+(-1)*(-1)+1I/V((1)²+(1)²+(-1)²)
=I1+1+1+1I/1=4/1=4
Donc VRAI.

5/ Je bloque

6/Je bloque aussi

Merci de votre aide

Léa 2000.