Bonjour

Tu développes pour trouver :


Tu peux alors intégrer par partie : en dérivant le logarightme , de même avec et pour une primitive de est donc une primitive de sera


Jord

S x.ln(2x) dx

Par parties:
Poser ln(2x) = u -> (2/2x) dx = du
dx /x = du
et poser x.dx = dv -> v = x²/2

S x.ln(2x) dx = (1/2).x².ln(2x) - (1/2).S x dx

S x.ln(2x) dx = (1/2).x².ln(2x) - (1/2).(x²/2) + C1

S x.ln(2x) dx = (x²/2).ln(2x) - (x²/4) + C1
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S (x+1)ln(x+1) dx

Par parties:
Poser ln(x+1) = u -> (1/(x+1)) dx = du
et poser (x+1) dx = dv -> v = (x²/2) + x

S (x+1)ln(x+1) dx = [(x²/2) + x].ln(x+1) - S [((x²/2) + x)/(x+1)] dx
S (x+1)ln(x+1) dx = [(x²/2) + x].ln(x+1) - (1/2).S [(x²+ 2x)/(x+1)] dx
S (x+1)ln(x+1) dx = [(x²/2) + x].ln(x+1) - (1/2).S [(x+1) - (1/(x+1))] dx
S (x+1)ln(x+1) dx = [(x²/2) + x].ln(x+1) - (x²/4) - (1/2)x + (1/2).ln(x+1) + C2
S (x+1)ln(x+1) dx = [(x²/2) + x + (1/2)].ln(x+1) - (x²/4) - (1/2)x  + C2
S (x+1)ln(x+1) dx = (1/2).(x² + 2x + 1).ln(x+1) - (x²/4) - (1/2)x  + C2
S (x+1)ln(x+1) dx = (1/2).(x+1)².ln(x+1) - (x²/4) - (1/2)x  + C2
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S [xln(2x)-(x+1)ln(x+1)] dx = (x²/2).ln(2x) - (x²/4) + C1 - (1/2).(x+1)².ln(x+1) + (x²/4) + (1/2)x  + C2
S [xln(2x)-(x+1)ln(x+1)] dx = (x²/2).ln(2x) - (1/2).(x+1)².ln(x+1) + (1/2)x  + C
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Ceci est valable dans l'intervalle où g(x) existe , soit dans R+*
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Remarque: on peut faire plus court en utilisant un changement de variables pour étudier les 2 parties simultanément, mais comme je pense que le changement de variables n'est pas étudié en terminale, je ne l'ai pas utilisé.

Sauf distraction.