Bonjour ???
Tu es sûr de ton texte ?

bonsoir

tu es sûr de ton énoncé ?

si je prends n=3, par exemple :   1 + 1/4 + 1/9  n'est pas un entier naturel...

Je suis désolé,la question c'est montrer que cette écriture n'appartient pas à IN

Tu supposes que cette somme est un entier naturel ,soit Sn€N
La somme S(n+1) doit être elle aussi entière .Alors ?

Bonjour,

"La somme S(n+1) doit être elle aussi entière"
pas forcément !!

ne pas confondre

il existe des valeurs de n >1 pour lesquelles cette somme est un nombre entier
(c'est faux, il s'agit de le démontrer)
et
cette somme est un nombre entier pour toutes les valeurs de n
(c'est aussi faux)

la deuxième interprétation ne nécessite pas de telles complications :
il suffit de montrer un contre exemple et il y en a à foison.

la première ne marche pas ainsi

ce n'est pas parce que pour un certain n, S(n) serait un nombre entier que S(n+1) devrait nécessairement l'être !!
ni le contraire d'ailleurs (S(n) non entier que S(n+1) ne pourrait pas être entier)

l'idée est plutôt d'encadrer S(n) entre deux nombres entiers consécutifs
au moins à partir d'un certain rang
et celles qui sont inférieures se font une par une explicitement.