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Question de cours, linéarisation trigo

Posté par
Roms127 22-04-20 à 12:00

Bonjour tout le monde !
Dans mon cours sur la linéarisation de produit de fonctions trigonométrique il y a un exemple, où on linearise pour resoudre une intégrale. Donc dans l'exemple c'est écrit :
Soit p,q€N
I=integrale de 0 a 2pi de cos(pt)cos(qt) dt
I=(1/2)*integrale de 0 à 2pi cos(p+q)tcos(p-q)t dt

=0 si p≠q sinon pi

Je ne comprends pas pourquoi a la deuxieme ligne ils sortent les t des parenthèses, les t sont censé rester dedans non ? C'est peut etre une faute  de frappe du livre ?  Et puis je ne comprends pas la dernière ligne, comment ils trouvent 0 ou pi.

Merci beaucoup

Posté par
Pirhore : Question de cours, linéarisation trigo 22-04-20 à 12:07

Bonjour,

cos(pt)cos(qt)=\dfrac{cos(pt+qt)+cos(pt-qt)}{2}

Posté par
larrechre : Question de cours, linéarisation trigo 22-04-20 à 12:08

Bonjour,

On linéarise pour transformer les produits en sommes.

C'est cos((p+q)t)+cos((p-q)t), et bien sûr, les t restent "dedans".

Posté par
larrechre : Question de cours, linéarisation trigo 22-04-20 à 12:09

Bonjour Pirho, plus rapide que moi sur ce coup.

Posté par
carpediemre : Question de cours, linéarisation trigo 22-04-20 à 12:09

salut

tristesse ...

ben parce que t est en facteur de p + q et de p - q ...

quant à trouver 0 ou pi il ne s'agit pas de comprendre ou pas !!! c'est le résultat de cette intégrale épictou !!!

donc pour savoir pourquoi ça vaut ça ben on fait le calcul !!!

aide : probablement une IPP ou une double IPP ...

Posté par
carpediemre : Question de cours, linéarisation trigo 22-04-20 à 12:10

ouais en plus !!!

Posté par
Pirhore : Question de cours, linéarisation trigo 22-04-20 à 12:13

larrech @ 22-04-2020 à 12:09

Bonjour Pirho, plus rapide que moi sur ce coup.


bonjour à vous deux  @larrech , ce qui est rare

Posté par
Roms127re : Question de cours, linéarisation trigo 22-04-20 à 12:16

Merci beaucoup les gars mais ducoup pour la linéarisation j'ai compris mais quant aux résultats comment trouve-t-on 0 ou pi, lorsque p=q, la primitive de cos(t(p-q)) n'est pas défini non ? Sinon c'est pas grave j'imagine que le but de l'exemple était vraiment de montrer l'interet de linéariser, neanmoins sa me chiffone un peu de pas comprendre le resultat ahah

Posté par
larrechre : Question de cours, linéarisation trigo 22-04-20 à 12:31

Quand  p=q, cos((p-q)t)=cos(0)=1. Ensuite tu calcules l'intégrale.

Posté par
Roms127re : Question de cours, linéarisation trigo 22-04-20 à 12:41

ok merci beaucoup !

Posté par Profil amethystere : Question de cours, linéarisation trigo 22-04-20 à 12:48

salut

la formule a été très mal recopiée

les formules trigo à connaitre par cœur et il y en a 24 soit dit en passant

cos \left(pt\right)cos\left(qt\right)=\dfrac {cos\left(t\left(p+q\right)\right)}{2}+\dfrac {cos\left(t\left(p-q\right)\right)}{2}

bon après comme p et q sont naturels on peut appliquer

lorsque p+q est pair

cos\left(t\left(p+q\right)\right)=\displaystyle  \sum _{k=0}^{\dfrac {p+q}{2}}\left(-1\right)^{\dfrac {p+q}{2}-k}\dbinom {p+q}{2k}cos^{2k}\left(t\right)sin^{p+q-2k}\left(t\right)

lorsque p+q est impair

cos\left(t\left(p+q\right)\right)=\displaystyle  \sum _{k=0}^{\dfrac {p+q-1}{2}}\left(-1\right)^{\dfrac {p+q-1}{2}-k}\dbinom {p+q}{2k+1}cos^{2k+1}\left(t\right)sin^{p+q-2k-1}\left(t\right)

lorsque p-q est négatif cos(p-q)=cos(q-p)

lorsque p-q est positif on remplace le p+q des deux formules par p-q selon que p-q est pair ou impair

Posté par Profil amethystere : Question de cours, linéarisation trigo 22-04-20 à 13:28

petit truc sympa pour te rappeler de quatre formules trigo

et celles là te permettent de retrouver  la formule de tout à l'heure

si on se rappelle que

cos(a+b)=Re\left(e^{i\left(a+b\right)}\right)
cos(a-b)=Re\left(e^{i\left(a-b\right)}\right)
sin(a+b)=Im\left(e^{i\left(a+b\right)}\right)
sin(a-b)=Im\left(e^{i\left(a-b\right)}\right)

du coup

cos(a+b)+cos(a-b)=2cos(a)cos(b)

et là ta formule recherchée


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