Niveau LicenceMaths 2e/3e a

Question de statistique

Posté par
Nilpotent 19-04-18 à 20:40

Bonsoir à tous,

On nous a appris en cours que la moyenne empirique s'écrit $X_n = (1/n)\sum_{i=1}^{n}{X_i}$ et qu'elle converge vers E(X)

Je souhaite savoir si $X_n = (1/n)\sum_{i=1}^{n}{f(X_i)}$ converge vers E(f(X)) ?

Merci à vous

Posté par re : Question de statistique 19-04-18 à 22:35

Bonsoir,

Dans quel espace les Xi sont-ils définis ? Quel est l'ensemble d'arrivée de f ?

Posté par re : Question de statistique 20-04-18 à 07:57

Bonjour,

Si on considère que les Xi sont iid de même loi que X.

Et supposons que f soit égale à log,exponentielle,ou x^p par exemple.

Posté par re : Question de statistique 20-04-18 à 09:22

Bonjour,

c'est juste la loi des grands nombres.

Il y a une condition sur l'espérance de f(X), je pense que vous pouvez la trouver.

Posté par re : Question de statistique 20-04-18 à 12:29

Bonjour,
Je ne l'ai pas trouvé :/ Nous l'avons fait uniquement sur la moyenne empirique, c'est juste moi qui essaye d'approfondir.

Je vais essayez de chercher encore la condition

Posté par re : Question de statistique 20-04-18 à 12:29

Je suppose que E(f(x)) doit être fini ? Est-ce la condition ?

Posté par re : Question de statistique 20-04-18 à 13:22

Oui exactement.

C'est dans la loi des grands nombres même.

Si on des Xi iid, avec une espérance finie (on dit "dans L1" aussi), alors la moyenne des Xi converge vers l'espérance.

Dans ce cas les variables ne sont plus les Xi, mais les f(Xi), il faut donc bien avoir que l'espérance de f(X) est finie. Si c'est le cas, alors la moyenne des f(Xi) converge vers l'espérance de f(Xi).

Toujours bien voir ce qu'on manipule

Posté par re : Question de statistique 20-04-18 à 15:01

Merci beaucoup ! J'ai poser cette questions car dans nos examens (qui approchent à grand pas) nous utilisons des estimateurs, et donc il faut appliquer le TCL, LGN et ce n'est pas toujours la fonction sympathique X_n = (1/n)Xi