Niveau Reprise d'études

Question pour "suite dans espace métrique"

Posté par
Fractal 11-03-20 à 08:19

Bonjour,

Quand on parle d'espaces métriques, est-il préférable de dire (d'écrire) $(x_n)\subset E$ , ou bien $(x_n)\in E$ ?

MErci

Posté par re : Question pour "suite dans espace métrique" 11-03-20 à 08:22

.... avec $(x_n)$ suite composée d'éléments de $E$ .

Posté par re : Question pour "suite dans espace métrique" 11-03-20 à 08:39

Ni l'un ni l'autre et cela n'a rien à voir avec les espaces métriques.
Pour moi $(x_n)$ n'est pas une suite. Il vaut mieux écrire $(x_n)_{n\in A},\;A$ étant une partie de $\N$ .

Une suite d'éléments de $E$ n'est pas élément de $E$ ni une partie de $E$ .
Tu as bien sûr : $\forall n\in A,\;x_n\in E$ et $\{x_n,\nn\in A\}\subset E$ .

L'ensemble des suites définies sur $A$ à valeurs dans $E$ se note $E^A$ ( $E^{\N}$ si la suite est définie pour tout entier).

Posté par re : Question pour "suite dans espace métrique" 11-03-20 à 08:49

Merci luzak

Pour moi, une suite se note de la façon suivante $(x_n)_{n\in\N}$ .

Par contre, tout mon poly indique $(x_n)\subset E$ , et j'ai cru même parfois croiser dedans $(x_n)\in E$ ...

Ok sur le fait que "Une suite d'éléments de $E$ n'est pas élément de $E$ ni une partie de $E$ " : n'est pas nécessairement veux-tu dire ? J'ai bien pris note de ta notation $E^{\N}$ , mais ne peut-on pas imaginé un E qui soit composé de suites elle-même composées d'élément de E, non ?

Je ne comprends pas le sens de ce : $\{x_n,\nn\in A\}\subset E$

Posté par re : Question pour "suite dans espace métrique" 11-03-20 à 09:59

Bonjour,

Grâce à l'intervention luzak , je viens de comprendre que $(u_n)_{n\in \N} \subset E$ est une notation abusive. Il faut distinguer deux choses : famille et ensemble:

Par exemple la suite nulle $(u_n)_{n\in\N}$ de $\R^{\N}$ est une famille d'éléments indexés .

$\text{Card}(u_n) =\text{Card}(\N)$

or

$\text{Card}(\{u_n,\;n\in \N\})=\text{Card}(\{0\})=1$

Posté par re : Question pour "suite dans espace métrique" 11-03-20 à 13:25

Bonjour,

La suite $(x_n)_{n\in\N}$ est par définition l'application $n\in\N\mapsto x_n$ . C'est donc une application de $\N$ dans $E$ . Or l'ensemble des applications d'un ensemble $A$ dans un ensemble $B$ se note $B^A$ (on peut rencontrer d'autres notations, comme $\mathcal F(A,B)$ ). Donc il est effectivement préférable de noter $(x_n)_{n\in\N}\in E^\N$ .

Lorsque le contexte n'est pas ambigu, on peut tolérer la notation $(x_n)\subset E$ , qui n'est pas exacte mais qui a le mérite d'alléger un peu l'écriture. En effet, l'écriture $(x_n)$ évoque une suite indexée par un indice nommé $n$ , qu'on image dans $\N$ , ou $\N^*$ selon le contexte. D'autre part, en allégeant un peu la rigueur, on peut aussi voir en $(x_n)$ l'écriture de l'ensemble $\{x_n\mid n\in\N\}$ , qui est effectivement inclus dans $E$ . En revanche, pour la notation $(x_n)\in E$ , je dis fermement non.

Posté par re : Question pour "suite dans espace métrique" 11-03-20 à 13:30

mousse42, je ne comprends pas ton égalité

mousse42 @ 11-03-2020 à 09:59

$\text{Card}(u_n) =\text{Card}(\N)$

Peut-être voulais-tu dire $\text{Card}(u) =\text{Card}(\N)$ , mais je ne vois pas ce qu'est le cardinal d'une application

Pour moi, le cardinal d'une famille est par définition le cardinal de son image, c'est-à-dire
$\text{Card}(u)=\text{Card}(u(\N))=\text{Card}(\{u_n\mid n\in\N\})$ .

Posté par re : Question pour "suite dans espace métrique" 11-03-20 à 13:34

Excusez-moi je me suis embrouillé

Le cardinal d'une famille n'est pas le cardinal de son image mais bien de l'ensemble de ses indices, donc a bien comme mousse42 l'a écrit :
$\text{Card}(u)=\text{Card}(\N)$ .