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Question sur partie Réelle d une somme

Posté par
Buth 09-09-05 à 20:24

Bonsoir à tous, je bloque un peu sur un DM de maths pour la semaine prochaine, il mélange les sommes et les complexes, voici ce qui me préoccupe :

Il faut que je calcule (ou simplifie) l'expression \sum_{k=0}^n cos(kx)

Alors j'ai démarré de la manière suivante :

S = \sum_{k=0}^n Re[(cos(kx)+isin(kx))]

S = Re[\sum_{k=0}^n exp(ikx)]

De là, je dis que \sum_{k=0}^n exp(ikx) est une suite géométrique de raison exp(ix). J'utilise la formule correspondante :

S = Re[\frac{1-exp(ix(n+1))}{1-exp(ix)}]

Et là je bloque un peu, je ne sais pas trop comment simplifier l'expression dont je dois trouver la partie réelle.

Si vous pouviez me donner un indice, ça serait sympa !

Ensuite j'ai aussi l'expression \sum_{k=0}^n cos(2kx) à simplifier, je ne sais pas si je dois démarrer sur le même principe ou pas.

Merci d'avance

Posté par
dad97 Correcteurre : Question sur partie Réelle d une somme 09-09-05 à 21:33

Bonsoir

factoriser par 4$e^{\frac{ix}{2}} en haut et en bas de ta fraction le dénominateur devient transformable en un sin(\frac{x}{2}) (à quelque chose près ).

Salut

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre:Question sur partie Réelle d une somme 09-09-05 à 21:39

Bonsoir Buth;
ton idée est bonne ( fais attention au cas e^{ix}=1)
avec e^{ix}\neq1 ( ie \frac{x}{2\pi}\notin\mathbb{Z}) on a en effet
S=Re(\frac{e^{i(n+1)x}-1}{e^{ix}-1}) maintenant il faut juste remarquer que:
\frac{e^{i(n+1)x}-1}{e^{ix}-1}=\frac{e^{\frac{i(n+1)x}{2}}(e^{\frac{i(n+1)x}{2}}-e^{\frac{-i(n+1)x}{2}})}{e^{\frac{ix}{2}}(e^{\frac{ix}{2}}-e^{\frac{-ix}{2}})}=e^{\frac{inx}{2}}\frac{2isin(\frac{(n+1)x}{2})}{2isin(\frac{x}{2})}=\frac{sin(\frac{(n+1)x}{2})}{sin(\frac{x}{2})}(cos(\frac{nx}{2})+isin(\frac{nx}{2}))
et tu as que:
4$\blue\fbox{S=\frac{sin(\frac{(n+1)x}{2})cos(\frac{nx}{2})}{sin(\frac{x}{2})}}
Sauf erreur bien entendu

Posté par
Buthre : Question sur partie Réelle d une somme 10-09-05 à 00:16

Merci beaucoup pour vos deux réponses, je n'étais pas si loin du but, mais la factorisation avec le demi-angle, je ne pense pas que j'y aurais songé tout seul

Sinon, pour pour la même somme avec cos(2kx), je refais un raisonnement sur le même principe de départ ?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Question sur partie Réelle d une somme 10-09-05 à 02:37

c'est exactement la m^me chose avec 2x à la place de x.

Posté par
SquaLre : Question sur partie Réelle d une somme 10-09-05 à 08:47

Bonjour,

On peut utiliser une autre méthode également, en multipliant numérateur et dénominateur par le conjugué de ce dernier.

3$S=Re[\frac{1-exp(ix(n+1))}{1-exp(ix)}]

3$S=Re[\frac{(1-e^{ix(n+1)})\times{(1-exp(-ix))}}{(1-exp(ix))\times{(1-exp(-ix))}}]

3$S=Re[\frac{1-e^{ix(n+1)}-e^{-ix}+e^{inx}}{2(1-cos(x))}]

3$\red\fbox{\fbox{S=\frac{1-cos((n+1)x)-cos(x)+cos(nx)}{2(1-cos(x))}}}

Sauf erreur(s) de ma part.

Posté par
Buthre : Question sur partie Réelle d une somme 10-09-05 à 13:10

Merci encore une fois pour vos réponse.

Et que deviendrait le résultat si à la place de cos(kx) on avait cos²(kx) ? Doit on toujours utiliser les complexes ou bien il est possible de s'en sortir à l'aide des formules de trigo ?

Posté par
Buthre : Question sur partie Réelle d une somme 10-09-05 à 13:51

Je répond moi même à ma question :

Je retrouve que \sum_{k=0}^n cos(2kx) = \sum_{k=0}^n cos^2(kx)

En effet, je pose cos²(kx)= cos(kx)*cos(kx)
                          
                          = Re[ exp(2ikx) ]


Mon raisonnement est il juste ? cela me paraît un peu facile

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Question sur partie Réelle d une somme 10-09-05 à 13:55

Tu sembles utiliser : \cos(2y)=\cos^2(y). Cela te semble juste ?

Posté par
Buthre : Question sur partie Réelle d une somme 10-09-05 à 14:53

Non, c'est une grosse erreur en effet, car

cos^2(x)=\frac{cos(2x)+1}{2}

Même en remplaçant avec ça je ne tombe sur rien de concret

Posté par
Buthre : Question sur partie Réelle d une somme 10-09-05 à 16:38

J'ai essayé en combinant les formules d'Euler, de moivre et de trigo, mais je n'arrive pas à transformer de manière satisfaisante la somme pour la simplifier

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Question sur partie Réelle d une somme 10-09-05 à 16:56

Bonjour;
\Bigsum_{k=0}^{n}cos^2(kx) peut se calculer astucieusement:
\fbox{C_n=\Bigsum_{k=0}^{n}cos^2(kx)\\S_n=\Bigsum_{k=0}^{n}sin^2(kx)}\Longrightarrow\fbox{C_n+S_n=n+1\\C_n-S_n=\Bigsum_{k=0}^{n}cos(2kx)}\Longrightarrow...

Posté par
Buthre : Question sur partie Réelle d une somme 10-09-05 à 17:38

Merci pour ton indication, je trouve :

\sum_{k=0}^n cos^2(kx)=\frac{n+1}{2}+\frac{sin(x(n+1))cos(nx)}{2sin(x)}


J'espère que c'est correct

Posté par
SquaLre : Question sur partie Réelle d une somme 10-09-05 à 17:51

Bonjour,

En effet c'est plutôt bien vu elhor_abdelali

Pour Buth, ton résultat me parait exact.

Posté par
Nightmarere : Question sur partie Réelle d une somme 10-09-05 à 23:19

Bonjour,

Quelqu'un de berthelot ça fait plaisir!

A+
Jord

Posté par
Buthre : Question sur partie Réelle d une somme 11-09-05 à 19:31

Bonsoir Nightmare, tu y es passé toi aussi ?

Posté par
Buthre : Question sur partie Réelle d une somme 11-09-05 à 19:47

Je viens de voir dans ton profil, tu es tjrs en première à berthelot ?

Posté par
Nightmarere : Question sur partie Réelle d une somme 13-09-05 à 17:11

Oui j'y suis toujours

Posté par
Buthre : Question sur partie Réelle d une somme 13-09-05 à 21:57

Ok, moi je suis rentré en PCSI 1 cette année, la taille de l'établissement impressionne pas mal les premiers jours

Posté par
Nightmarere : Question sur partie Réelle d une somme 14-09-05 à 22:09

Lol oui effectivement . Peut être aurons-nous l'occasion de nous croiser dans les couloirs


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