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Questions algèbre linéaire

Posté par
martin9
21-05-22 à 12:40

Bonjour,
je me pose des questions assez élémentaires d'algèbre linéraire.

On a f un endomorphisme de E ev de dimension n tel que f^{n-1}\neq 0 et f^n = 0

Est-ce que les affirmations suivantes sont correctes ?

- Ker(fn-1) = {} donc dim(Ker(fn-1)) = 0 donc rg(fn-1) = dim E = n

-  dim(Ker(fn)) = 0 donc rg(fn) = 0

- Ker(Id) = {0} donc dim(Ker(Id)) = 1 et rg(Id) = n-1

Merci

Posté par
carpediem
re : Questions algèbre linéaire 21-05-22 à 13:13

salut

des affirmations étonnantes ... car contradictoires en elle-même ...

la dernière est immédiate (à démontrer) quand on sait ce qu'est l'application I ..

quant aux deux autres par hypothèse il existe x non nul tel que fn - 1(x) = y 0 et fn(x) = f(y) = 0

on peut s'intéresser aux fk(x) ...

tu devrais revoir ce que sont le noyau et l'image d'une application linéaire ...

Posté par
AitOuglif
re : Questions algèbre linéaire 21-05-22 à 14:14

Bonjour martin9

Un noyau d'une application linéaire vide…est-ce seulement possible?

Posté par
martin9
re : Questions algèbre linéaire 21-05-22 à 15:24

Oui effectivement, je rectifie...
la 3e est plutôt :
Ker(IdE) = {0} donc dim(Ker(IdE)) = 0 et rg(IdE) = n
pour la 2e je voulais dire :
dim(Ker(fn)) = n donc rg(fn) = 0
Sinon la 1ere n'a aucun sens, par contre on peut dire que rg(IdE) rg(f) ... rg(fn) donc puisque rg(IdE) = n, pour k\in [|0,n|], rg(f^n) = n-k

Est-ce que c'est mieux ?

Posté par
martin9
re : Questions algèbre linéaire 21-05-22 à 15:29

En fait la dernière implication n'est pas correcte avec des inégalités larges

Posté par
carpediem
re : Questions algèbre linéaire 21-05-22 à 18:33

ouais c'est mieux ...

i est une bijection donc écrire rg (I) ... ben bof bof ... autant mettre n directement ...

Posté par
martin9
re : Questions algèbre linéaire 22-05-22 à 15:06

Ok, merci pour votre aide

Posté par
carpediem
re : Questions algèbre linéaire 22-05-22 à 17:40

de rien



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