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Niveau troisième
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Racine

Posté par
stella
15-01-04 à 13:13

Bonjour
Comparer les nombres suivants :
a = 3 racine de 6 - 2 racine de 3 et b = racine de (66 - 36 racine
de 2)
J'ai du mal à extraire les racines. Pouvez- vous m'expliquer SVP.
  
Merci
Stella

Posté par stéphane (invité)Racine réponse 15-01-04 à 13:34

Bonjour,
Pour simplifier les racines, il faut pouvoir faire apparaître des carrés
évidents, comme par exemple :
18= (2*9)
                                    = 2 * 9

Alors là c'est facile parce qu'on sait que 9 c'est 3^2 (trois
au carré),
donc 9=3

Il faut donc que tu connaises tous les carrés simple, c'est à dire,
2^2, 3^2, 4^2, ..., 10^2.

Pour revenir à ton problème, le plus petit carré simple c'est 2^2=4
mais hélas 6 4*quelquechose.
En revanche,6=3 * 2.
Tu peux alors mettre en facteur 3.
Tu obtiens : (32-2)*3

Pour b, je pense qu'il faut essayer de mettre en facteur un 3.
Tu peux dire par exemple que 66=22*3 et 36=12*3.
Tu obtiendras :
(3*22-3*12*2)
ou encore :
(3*(22-122))
ou encore :
3*(22-122).

voilà, ce n'est peut être pas ce que tu attends, mais je ne vois pas
comment tu peux simplifier autrement. Tu peux toujours essayer d'autres
factorisations.

PS: Tu vois apparaître pour a et b 3, donc il te reste
à comparer les facteurs de 3.

Bon courage.

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Racine 15-01-04 à 14:55

Fichtre.

1° On vérifie que a et b sont tous deux positifs -> OK


a² = (3V6)² - 12V18 + 12 = 54 - 36V2 + 12 = 66 - 36V2

b² = 66 - 36V2

Comme a² = b² et que a et b > 0, on a donc a = b
-----
Sauf distraction.



Posté par
stella
Racine 15-01-04 à 16:11

Bonjour J.P.
J'ai du mal à comprendre ta démarche pour trouver a au carré. Peux-tu
m'expliquer un peu plus, STP.
Merci beaucoup pour ton aide
Stella

Posté par stephane (invité)re : Racine 15-01-04 à 16:30

Il faut savoir que :

(a+b)²=a²+b²+2*a*b
et
(a-b)²=a²+b²-2*a*b
et
(a²-b²)=(a-b)*(a+b)

Ce sont ce qu'on appelle les identités remarquables.

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Racine 15-01-04 à 16:34

OK, voila avec beaucoup de détails et explications.

a = 3V6 - 2V3   (avec V pour racine carrée)

a est de la forme a = A - B
(avec A = 3V6 et B = 2V3)

On a l'identité remarquable:
a = A - B
a² = (A - B)² = A² - 2AB + B²

avec A² = (3V6)² = 9*6 = 54
et avec B² = (2V3)² = 4*3 = 12
et avec 2AB = 2.(3V6).(2V3) = 2*3*2*V6*V3 =12V18
=  12.V(9*2) = 12.V(3².2) = 12*3V2 = 36.V2

-> a² = 54 - 36V2 + 12 = 66 - 36V2
-----
Remarque, si on connait l'identité remarquable (ce qui devrait être le
cas), tous les détails ci-dessus sont superflus et on a directement
la solution comme lors de ma première réponse.

  



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