a)
1 --> 1² --> 1
2 --> 2² --> 4
3 --> 3² --> 9
4 --> 4² --> 16 --> 6
5 --> 5² --> 25 --> 5
6 --> 6² --> 36 --> 6
7 --> 7² --> 49 --> 9
8 --> 8² --> 64 --> 4
9 --> 9² --> 81 --> 1

Du coup, en supposant que [...], alors le dernier décimale du carré de ce nombre peut être 1, 4, 5, 6, ou 9.

b)
Si on élève racine de 2 (en supposant que [...]) au carré, le dernier décimal ne sera donc jamais nul. Donc il ne pourra jamais être égal à 2, puisque justement tous les décimaux de 2 sont nuls (2=2,0000000...). Donc , ce qui est absurde.

Donc racine de 2 n'est effectivement pas un décimal. C'est en réalité un irrationnel (mais tu apprendras ça l'année prochaine si tu vas en seconde).

Je ne suis pas sûr de ma méthode...

Pour compléter la démo de Gryfo :

i. Pour être précis, il faut insister que l'on parle de nombre décimal, avec un nombre fini de décimales après la virgule. En contre-exemple 3,333333333333.... * 3 = 10

ii. Lorsqu'on multiplie deux nombres décimaux non entiers, on obtient un nombre décimal avec un nombre de chiffres après la virgule égal à l'addition du nombre de décimale de chacun des deux nombres. Evidemment, ce nombre de décimales dans le produit est diminué si et seulement si on a obtient des zéros dans les décimales les plus à droite. i.e. 0,31 * 6,25 = 1,9375 alors que 0,32 * 6,25 = 2,0000

iii. La conclusion s'étend aussi à tous les nombres entiers. Un nombre entier a une racine carré entier sinon sa racine carré n'est pas un nombre décimal. En réalité cette racine carré non entier d'un nombre entier n'est même pas rationnel.

Ta citation de ma conclusion est incomplète:

PPS: je présume que tu voulais dire nombre  entier dans ton post

Merci beaucoup .. Même si je ne comprends pas entièrement le résonement de l'absurde

Le raisonnement par l'absurde consiste à faire une hypothèse que nous croyons pourtant fausse, mais c'est justement dans l'objectif de démontrer qu'elle ne peut être vraie car elle crée une situation absurde (une situation de contradiction contraire à la vérité)

Par exemple, ici, nous avions la croyance que la racine carré de 2 ne pouvait pas être un nombre décimal. Mais pour le démontrer nous émettons l'hypothèse que la racine carré de 2 est un nombre décimal, pour aboutir à une situation de contradiction qui donne la certitude que cette hypothèse est fausse.

Bonjour, désolé j'arrive vraiment en retard mais il se trouve qu'à l'heure actuelle j'ai exactement le même problème ( pour un DM )  je me demandais si vous pouviez me dire si vos réponses étaient exactes à la correction. Merci de prendre le temps de me repondre.