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Niveau seconde
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Racine carrée

Posté par
matt76
27-01-20 à 19:07

Bonjour, je n'arrive pas à résoudre les questions de mon Devoir Maison qui sont posées.

Soient a et b deux nombres réels tels que 0\leqa<b.

1. Montrer que \sqrt{}b-\sqrt{}a = b-a sur \sqrt{}}b+\sqrt{}}a

2.a. Quel est le signe de b-a ? Justifier.

b. Quel est le signe de \sqrt{}}b+\sqrt{}}a ? Justifier.

c. En déduire le signe de \sqrt{}}b-\sqrt{}}a.

3. En déduire une comparaison entre \sqrt{}}a et \sqrt{}}b.

Posté par
hekla
re : Racine carrée 27-01-20 à 19:16

Bonsoir


que vaut (\sqrt{b}-\sqrt{a})\times (\sqrt{b}+\sqrt{a}) ?

Posté par
matt76
re : Racine carrée 28-01-20 à 12:27

\sqrt{}b au carré × \sqrt{}a au carré

Posté par
Leile
re : Racine carrée 28-01-20 à 13:07

bonjour,
en attendant le retour d'hekla  :

ta réponse est fausse..
(a - b )  (  a+ b ) = a² - b²    et  
a²  = a   (quand  a >0)
donc
(\sqrt{b}-\sqrt{a})\times (\sqrt{b}+\sqrt{a})   =   ?

Posté par
matt76
re : Racine carrée 28-01-20 à 16:13

b - a

Posté par
hekla
re : Racine carrée 28-01-20 à 17:04

Bien

Que pouvez-vous en déduire pour  \sqrt{b}-\sqrt{a} ?

Bonjour Leile

Posté par
matt76
re : Racine carrée 28-01-20 à 17:56

C'est à dire ?

Posté par
hekla
re : Racine carrée 28-01-20 à 18:06

Comment pouvez-vous passer de  

(\sqrt{b}-\sqrt{a})\times (\sqrt{b}+\sqrt{a})=b-a

à ce que l'on vous demande c'est-à-dire

(\sqrt{b}-\sqrt{a})=\dfrac{b-a}{ \sqrt{b}+\sqrt{a}}

Posté par
matt76
re : Racine carrée 28-01-20 à 18:28

Car \sqrt{}b au carré = b
Et \sqrt{}}a au carré = a
Non?

Posté par
hekla
re : Racine carrée 28-01-20 à 18:33

Répondez à la question 1  comment montrer que

(\sqrt{b}-\sqrt{a})=\dfrac{b-a}{ \sqrt{b}+\sqrt{a}} en utilisant les calculs que vous venez de faire

Posté par
matt76
re : Racine carrée 29-01-20 à 09:27

\sqrt{}b au carré
- \sqrt{}a au carré
=b au carré -  a au carré sur \sqrt{}b au carré +  \sqrt{}a au carré

Posté par
hekla
re : Racine carrée 29-01-20 à 09:57

On divise tout simplement les deux membres par \sqrt{b}+\sqrt{a}

On obtient bien (\sqrt{b}-\sqrt{a})=\dfrac{b-a}{ \sqrt{b}+\sqrt{a}}

ensuite ?

Posté par
matt76
re : Racine carrée 29-01-20 à 10:29

(\sqrt{}b - \sqrt{}a) ÷ (\sqrt{}b + \sqrt{}a) =
b - a (\sqrt{}b + \sqrt{}a) sur (\sqrt{}b + \sqrt{}a) ÷ (\sqrt{}b + (\sqrt{}a)

Posté par
hekla
re : Racine carrée 29-01-20 à 11:11

Que voulez-vous dire  ?

Question 1 Si vous pensez que la multiplication est arbitraire au départ  on peut se dire qu'il faut enlever les racines carrées. On ne peut élever au carré car alors on aurait encore des racines carrées avec le double produit.   On peut alors se dire que  a\geqslant  0,\ a=(\sqrt{a})^2   de même pour b
mais alors on obtient  b-a= (\sqrt{b})^2-(\sqrt{a})^2=\left(\sqrt{b}-\sqrt{a}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{a}\right)

on peut aussi écrire  
\left(\sqrt{b}-\sqrt{a}\right)=\dfrac{\left(\sqrt{b}+\sqrt{a}\right)}{\left(\sqrt{b}+\sqrt{a}\right)}\left(\sqrt{b}-\sqrt{a}\right) puisque l'on a multiplié par 1

d'où le résultat \left(\sqrt{b}-\sqrt{a}\right)= \dfrac{b-a}{\left(\sqrt{b}+\sqrt{a}\right)}

D'accord pour la question 1 ?  Sinon posez vos questions, si oui passons à la suite

Posté par
matt76
re : Racine carrée 29-01-20 à 12:31

J'ai juste pas compris comment on passe de (\sqrt{}b + \sqrt{}a) sur (\sqrt{}b + \sqrt{}a) à  b - a  sur (\sqrt{}b + \sqrt{}a)

Posté par
hekla
re : Racine carrée 29-01-20 à 13:57

\left(\sqrt{b}-\sqrt{a}\right)=\dfrac{\left(\sqrt{b}+\sqrt{a}\right)}{\left(\sqrt{b}+\sqrt{a}\right)}\left(\sqrt{b}-\sqrt{a}\right)

 a\times \dfrac{b}{c}=\dfrac{ab}{c} multiplication d'une fraction par un nombre  on en fait autant

\left(\sqrt{b}-\sqrt{a}\right)=\dfrac{\left(\sqrt{b}+\sqrt{a}\right)\times\left(\sqrt{b}-\sqrt{a}\right)}{\left(\sqrt{b}+\sqrt{a}\right)}

le calcul du numérateur a été fait  et vous avez trouvé b-a

on a donc enfin  \left(\sqrt{b}-\sqrt{a}\right)=\dfrac{b-a}{\left(\sqrt{b}+\sqrt{a}\right)}

Posté par
matt76
re : Racine carrée 29-01-20 à 14:21

D'accord merci de m'avoir expliqué

Posté par
hekla
re : Racine carrée 29-01-20 à 14:35

Des questions sur la suite  ?

Posté par
matt76
re : Racine carrée 29-01-20 à 15:01

L'énoncé veux dire quoi par
"Quel est le signe"?

Posté par
hekla
re : Racine carrée 29-01-20 à 15:11

On veut savoir si l'expression est positive, négative ou nulle  et le cas échéant  sur quel intervalle.

Posté par
matt76
re : Racine carrée 29-01-20 à 15:42

D'accord merci et "Déduire une comparaison" signifie quoi ?

Posté par
hekla
re : Racine carrée 29-01-20 à 15:53

Lequel est le plus grand \sqrt{b} ou \sqrt{a}

ou plus petit  bref on vous demande de les ranger dans un ordre  ou quel symbole peut-on écrire  entre \sqrt{b} et \sqrt{a}   >  ou  >

Posté par
matt76
re : Racine carrée 29-01-20 à 16:06

D'accord merci beaucoup de m'avoir aidé à comprendre le problème

Posté par
hekla
re : Racine carrée 29-01-20 à 16:08

De rien

et si vous avez d'autres questions  venez les poser

Posté par
hekla
re : Racine carrée 29-01-20 à 16:10

Il fallait évidemment lire  > ou < 15 : 53

Posté par
matt76
re : Racine carrée 31-01-20 à 18:17

Juste pour savoir comment on sait si b est plus grand que a ou l'inverse

Posté par
hekla
re : Racine carrée 31-01-20 à 18:24

Dans votre devoir on vous l'indique

Citation :
Soient a et b deux nombres réels tels que 0\leqslant a<b.


Sinon c'est un tout a<b \Rightarrow  \sqrt{a}<\sqrt{b}

cela revient au même de dire   b<a \Rightarrow  \sqrt{b}<\sqrt{a}

les racines carrées sont rangées dans le même ordre que les nombres ou

en prenant la racine carrée on ne change pas l'ordre

Posté par
matt76
re : Racine carrée 31-01-20 à 18:34

Du coup dans tous les cas b doit être supérieur à  a  selon la citation :
0\leqa<b

Posté par
hekla
re : Racine carrée 31-01-20 à 18:40

Non ce n'est pas ce que j'ai écrit.
Il faut bien à un moment donné soit choisir soi-même si l'on veut montrer une généralité  soit à la suite d'un raisonnement on aboutit à une inégalité qui fixera alors le sens

Posté par
matt76
re : Racine carrée 31-01-20 à 18:49

D'accord merci de m'avoir aidé

Posté par
hekla
re : Racine carrée 31-01-20 à 18:52

De rien


Il ne faut jamais rester avec des doutes ou des interrogations



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