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racines carrées

Posté par
caredeuxx 06-02-15 à 11:29

Bonjour,

Pouvez-vous d'abord et SVP me confirmer ceci:



                          (\sqrt{a}   +   \sqrt{b}  ) ^2


               =     \sqrt{a}^2     +  \sqrt{b}^2     +   2 \sqrt{a}\sqrt{b}


                =       a   +   b    +  2\sqrt{a}\sqrt{b}

Posté par
mathafou Moderateurre : racines carrées 06-02-15 à 11:41

Bonjour,

Oui,

et aussi \sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}
ça peut servir pour simplifier encore selon les valeurs de a et b, si p est le pgcd de a, b alors p² est un diviseur de ab et on peut extraire p de la racine, exemple \sqrt{10}\sqrt{6} = \sqrt{60} = \sqrt{4\times 15} = 2\sqrt{15}

Posté par
caredeuxxre : racines carrées 06-02-15 à 13:21


Bon alors voici une application:


                                            (\sqrt{7}  +  \sqrt{3})^2

                      =  \sqrt{7}^2   +  \sqrt{3}^2   +   2    \times   \sqrt{7}   \times   \sqrt{3}

                                 =    7  +  3   +   2\sqrt{7\times3}

                                           =   10   +   2\sqrt{21}

_______________________________________________________________________________________________________________________

puis une autre application avec un des deux termes qui n'est pas une racine carrée:


                                           ( 1    +   \sqrt{5} )^2


                     =  1^2   +   \sqrt{5}^2   +   2  \times   1   \times    \sqrt{5)


                                  =     1   +    5    +   2\sqrt{5} \\


                                  =         6    +   2\sqrt{5}


Est-ce juste ?









          

Posté par
mathafou Moderateurre : racines carrées 06-02-15 à 13:58

impec

Posté par
caredeuxxre : racines carrées 06-02-15 à 14:23


Maintenant voici:


                               (\sqrt{a}  -  \sqrt{b})^2 \\

         =    \sqrt{a}^2   +   \sqrt{b}^2     -    2  \times   \sqrt{a} \sqrt{b}

                        
                     =   a   +    b    -    2\sqrt{a}\sqrt{b}

_______________________________________________________________________________________________

une application avec les deux termes en racines carrées:


                         (\sqrt{2}    -   \sqrt{5})^2


       =     \sqrt{2}^2    +    \sqrt{5}^2   -   2   \times   \sqrt{2} \sqrt{5}


                   =  2  +   5    -   2\sqrt{2\times5}


                        =     7    -   2\sqrt{10} \\


_____________________________________________________________________________________________

puis une application avec un des deux termes qui n'est pas une racine carrée:


                         (7  -  \sqrt{11})^2

      =   7^2   +   \sqrt{11}^2    -    2  \times  7\sqrt{11}

      
                 =    49   +   11   -   14\sqrt{11}


                         =   60   -   14\sqrt{11}



est-ce toujours correct ?
































                          

Posté par
mathafou Moderateurre : racines carrées 06-02-15 à 14:33

tu maitrises.

Posté par
caredeuxxre : racines carrées 06-02-15 à 15:21

pas tout !



maintenant ceci:       \sqrt{\frac{a}{b}}    =   \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \\


                               \sqrt{\frac{16}{25}}   = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}}


                                         =   \frac{\sqrt{4}^2}{\sqrt{5}^2}


                                         =   \frac{4}{5}


                                         =    0,8

_______________________________________________________________________________________________________________

comment appliquer avec:


                                       \sqrt{\frac{30}{3}}

                                                      ?


puis avec:

                                       \sqrt{\frac{22}{33}}

                                                      ?

Posté par
mathafou Moderateurre : racines carrées 06-02-15 à 15:40

la première chose à faire serait de simplifier tes fractions ... !

ensuite il y a une règle d'écriture qui veut qu'on évite des racines aux dénominateur

ainsi au lieu de \frac{1}{\sqrt{a}} on écrira de préférence \frac{\sqrt{a}}{a}
par exemple \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}

Posté par
caredeuxxre : racines carrées 06-02-15 à 16:31


Doit-on simplifier ainsi     :


                        \sqrt{\frac{30}{3}}      =       \sqrt{\frac{10}{1}}     =    \sqrt{10}



mais pour:             \sqrt{\frac{22}{33}}     =      ????????????????????????????

Posté par
plvmptre : racines carrées 06-02-15 à 16:45

bonjour,

\sqrt{\frac{22}{33}}

V22 = V2V11
V33 = V3V11

Posté par
mathafou Moderateurre : racines carrées 06-02-15 à 16:55

ou même avant de parler de racine carrées 22/33 = (2×11)/(3×11) = 2/3

Posté par
mathafou Moderateurre : racines carrées 06-02-15 à 16:56

on doit sans doute ne plus enseigner à simplifier des fractions

Posté par
caredeuxxre : racines carrées 06-02-15 à 16:59

Bonjour plvmpt,




donc   \sqrt{\frac{22}{33}}      =  \frac{\sqrt{2\times11}}{\sqrt{3\times11}}

                                            
           =      \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}


           ???

Posté par
mathafou Moderateurre : racines carrées 06-02-15 à 17:08

oui, ou

\sqrt{\frac{22}{33}} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}

le premier réflexe en présence de fractions est de les simplifier le plus tôt possible,
ça évite de trainer des truc inutiles ou des nombres qui finissent par devenir gigantesques et dans lesquels on ne voit plus du tout que ça se simplifie

résultat que l'on peut chercher à écrire "comme recommandé" en \frac{\sqrt{6}}{3} (je te laisse justifier que c'est pareil)

Posté par
caredeuxxre : racines carrées 06-02-15 à 17:18

Mathafou,

Il ne s'agit pas uniquement de simplifier des fractions:  par exemple



    \sqrt{O,49}   =  \sqrt{\frac{49}{100}}     = \frac{\sqrt{7}^2}{\sqrt{10}^2}


               = \frac{7}{10}  =   0,7

Posté par
mathafou Moderateurre : racines carrées 06-02-15 à 17:28

dans le 22/33 précédent il était tout de même évident de simplifier la fraction par 11 avant de faire le calcul, plutôt que de trainer des racines de 11 ...
mébon, comme j'ai dit : "oui, ou bien" ... les deux calculs sont possibles et donnent le même résultat (encore heureux)

Posté par
caredeuxxre : racines carrées 06-02-15 à 17:42


oui, tout est heureux lorsque le résultat est le même ... en maths.


Pour les équations sous la forme:      x^2   =   a


on a par exemle à résoudre   x^2  =  25


25 est positif, donc l'équation admet 2 solutions:

soit  x = \sqrt{25         soit  x  =   - \sqrt{25}

soit     x = 5            soit     x =  -5

______________________________________________________________________________

mais si on a à résoudre:

                             x^2  =  \sqrt{9}

est-ce la racine carrée de la racine carrée de 9 ?????  qui est égale à x ?????????????????

Posté par
mathafou Moderateurre : racines carrées 06-02-15 à 17:46

bein oui, la racine carrée de la racine carrée ... et alors ?
mais comme déja la racine carrée de 9 ... hum ...

(quand je parlais de simplifier tout ce qu'on peut le plus tôt qu'on peut ...)

Posté par
caredeuxxre : racines carrées 06-02-15 à 17:57



donc     x  =  \sqrt{\sqrt{9}}

           x  =   \sqrt{3}               ou     x  =  \sqrt{-3}

Or la racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas !

Posté par
mathafou Moderateurre : racines carrées 06-02-15 à 18:10

mais non voyons !!
dés le départ \sqrt{9} = 3 un point c'est tout

et donc tu as à résoudre x² = 3

si tu tiens absolument à trainer des racines de racines ce serait :


x = \sqrt{\sqrt{9}} et x = -\sqrt{\sqrt{9}}

x^2 = a donne x = \sqrt{a} et -\sqrt{a}, pas \sqrt{-a} !!

ici "a" c'est \sqrt{9} et alors, la belle affaire

ça pourrait tout aussi bien être \red\sqrt{1 + \sqrt{5} - \sqrt{2}} que ça ne changerait rien du tout

on aurait x = \sqrt{\red\sqrt{1 + \sqrt{5} - \sqrt{2}}} et x = -\sqrt{\red\sqrt{1 + \sqrt{5} - \sqrt{2}}}

ne pas oublier la définition de "racine carrée"

la racine carrée d'un nombre (positif) "a" est le seul et unique nombre > 0 dont le carré est égal à a

rien à voir avec résoudre une équation x² = a qui elle donne effectivement deux solutions : la racine carrée,
et l'opposé de la racine carrée.

Posté par
caredeuxxre : racines carrées 06-02-15 à 19:55


effectivement, il s'agit en fait de démontrer pourquoi   x^2 = a

Posté par
mathafou Moderateurre : racines carrées 06-02-15 à 20:16

Citation :
démontrer pourquoi
??

c'est une équation à résoudre, pas à "démontrer" pourquoi je ne sais quoi.
démontrer "pourquoi on te demande de la résoudre" ???

Posté par
caredeuxxre : racines carrées 07-02-15 à 07:29


excusez-moi, je suis grippée....

je voulais dire qu'il s'agissait en fait de démontrer que    x  =  \sqrt{3}     et   x  =  -  \sqrt{3}  

après avoir résolu   x^2  =  \sqrt{9}

donc voici la démonstration telle que mon prof. me l'a écrite à partir de la définition de l'équation de la forme   x^2  =  a


                            x^2  =  a \\


On résout:           x^2   -  a  =   0


                       x^2  -  \sqrt{a}^2  =  0 \\

                     (x  -  \sqrt{a}) (x  +  \sqrt{a}) \\ =   0


soit       x  -  \sqrt{a}   =  0                   soit      x  +  \sqrt{a}  =   0 \\


               x   =   \sqrt{a}                                       x  =   - \sqrt{a}

____________________________________________________________________________________________________

démonstration appliquée à l'équation        

                    x^2  = \sqrt{9}

On résout:    
                  x^2  -  \sqrt{9}   =   0         

                 x^2  -  \sqrt{\sqrt{9}}^2   =    0    

ou plus simplement:
                  x^2  -  \sqrt{3}   =   0
                                            

             (x  -  \sqrt{3})(x  +  \sqrt{3})   =    0


soit       x  -  \sqrt{3}  =   0                  soit     x   +  \sqrt{3}   =   0

                     x   =    \sqrt{3}                            x  =   -  \sqrt{3}

______________________________________________________________________________________________

votre exemple me paraît compliqué à résoudre et démontrer  si       a  =  \sqrt{1-\sqrt{5 - \sqrt{2}}

                              x^2   =   \sqrt{ 1 + \sqrt{5}  -  \sqrt{2}

Posté par
mathafou Moderateurre : racines carrées 07-02-15 à 11:07

mon exemple est juste pour dire que quel que soit a etc

j'ai pris un a absolument quelconque qui pourrait être aussi compliqué qu'on veut
résoudre \small x^2 = a
donne les solutions \small x = \sqrt{a} et \small x = -\sqrt{a}

et que cette équation avec une valeur donnée de a se résout en remplaçant, au traitement de texte par copier coller, "a" par son expression, aussi compliquée soit-elle.
c'est tout.
et donc quel que soit a le "-" est devant la racine "globale" et pas à l'intérieur comme ta question du 06-02-15 à 17:57

et aussi une fois qu'on a démontré une fois pour toutes que résoudre \small x^2 = a
donne les solutions \small x = \sqrt{a} et \small x = -\sqrt{a}
il n'est pas nécessaire d'écrire une nouvelle fois la démonstration en entier pour un a particulier (\small \sqrt{9} ou quoi que ce soit)
on applique directement le résultat, "formellement"
maintenant le re-démontrer à chaque fois, pourquoi pas, mais si tu re-démontre à chaque fois tous les "théorèmes" et toutes les questions du genre :

question 1 démontrer que < propriété générale >
question 2 en déduire < cas particulier >

en recopient l'intégralité de la démonstration de la question 1 dans la question 2, ça va faire très lourdingue tes calculs ...

Posté par
caredeuxxre : racines carrées 07-02-15 à 11:51

Bonjour mathafou,

Moi j'aime bien ce qui est lourdingue.

Pouvez-vous svp me résoudre avec démonstration votre équation en utilisant la démonstration de    x^2  =  a     ?

à l'avance merci.

caredeuxx.

Posté par
mathafou Moderateurre : racines carrées 07-02-15 à 12:36

tu l'as fait dans ton message de 07:29 il n'y a rien à ajouter ni à corriger là dedans.

moi personnellement je rédigerais ainsi, mébon, moi c'est moi, et toi

Citation :
aime bien ce qui est lourdingue.
mal barré

x^2 = a

On résout: x^2 - a = 0

x^2 - \sqrt{a}^2 = 0

(x - \sqrt{a}) (x + \sqrt{a}) = 0

soit x - \sqrt{a} = 0 soit x + \sqrt{a} = 0 \\


x = \sqrt{a} x = - \sqrt{a}

Totalement identique à ce que tu as écrit (normal, c'est la correction du prof ...)

____________________________________________________________________________________________________

mais ensuite :

application à x^2 = \sqrt{9}

a c'est \sqrt{9}
je remplace a par \red \sqrt{9} dans le résultat qu'on vient de démontrer :
x = \sqrt{\red \sqrt{9}} x = - \sqrt{\red \sqrt{9}}

et ensuite (ou même avant, dès le départ)
je simplifie le \sqrt{9} en \red 3 le nombre positif dont le carré est 9
définition de "racine carrée" et pas par \pm 3

et c'est tout.

Posté par
caredeuxxre : racines carrées 07-02-15 à 13:23


Non, pas cela !

mais votre équation:

                             x^2    = \sqrt{1 + \sqrt{5} -  \sqrt{2}}

Posté par
mathafou Moderateurre : racines carrées 07-02-15 à 13:40

c'est exactement pareil
c'est du remplacement par copier coller à l'éditeur de texte de tous les "a" par "\sqrt{1 + \sqrt{5} - \sqrt{2}}" sans en changer un iota et rigoureusement rien d'autre.

Posté par
caredeuxxre : racines carrées 07-02-15 à 18:21

Donc on ne fait pas de calculs internes, et cela donne:


                               x^2  =  \sqrt{1 + \sqrt{2} - \sqrt{2}}

                     x^2  -   \sqrt{1  + \sqrt{5}  -  \sqrt{2}}    =    0


                         x^2   -   \sqrt{\sqrt{1 + \sqrt{5} - \sqrt{2}}^2

( x  -  \sqrt{\sqrt{1  +  \sqrt{5}  -  \sqrt{2}})   ( x  +  \sqrt{\sqrt{1  +  \sqrt{5}  -  \sqrt{2}})   =    0


soit   (x - \sqrt{\sqrt{1 + \sqrt{5}  -  \sqrt{2}})   =  0     soit   (x + \sqrt{\sqrt{1 + \sqrt{5} - \sqrt{2}})  =   0


soit   x   =  \sqrt{\sqrt{1 + \sqrt{5} - \sqrt{2}} \\     soit   x   =   -  \sqrt{\sqrt{1 + \sqrt{5} - \sqrt{2}} \\
  

Posté par
mathafou Moderateurre : racines carrées 07-02-15 à 18:38

oui.
(modulo les erreurs de LaTeX qui font étendre un peu trop loin les barres de racines carrées ou mettre le carré pas au bon endroit)

x^2 - \sqrt{\sqrt{1 + \sqrt{5} - \sqrt{2}}}^2 (il manquait un "}" fermant)

pour être même encore plus clair on peut écrire en ajoutant des ( )

x^2 - \left(\sqrt{\sqrt{1 + \sqrt{5} - \sqrt{2}}}\right)^2

etc

peut être que cette expression se simplifie au final, peut être pas, de toute façon là n'était pas la question.


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