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racines nièmes de l'unité

Posté par
sgu35 10-06-21 à 09:03

Bonjour,
je voudrais savoir comment on montre que :
|z|^n=1 \Longleftrightarrow |z|=1

Posté par
sgu35re : racines nièmes de l'unité 10-06-21 à 09:04

où z est un complexe

Posté par
LeHiboure : racines nièmes de l'unité 10-06-21 à 09:15

Bonjour,

C'est immédiat avec la forme polaire z = |z|ei

Posté par
LeHiboure : racines nièmes de l'unité 10-06-21 à 09:20

Ceci dit, de la façon dont tu l'as écrit, pour tout réel a 0, tu as an = 1 a = 1, et c'est vrai en particulier pour a = |z|
Tu voulais peut-être écrire :
Montrer que pour tout z tel que |zn| = 1 on a |z| = 1
Ce qui n'est pas exactement le même problème...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : racines nièmes de l'unité 10-06-21 à 09:32

Bonjour,
Oui, l'équivalence telle qu'elle est écrite est fausse.

Voir z = e^{i\frac{\pi}{\sqrt{2}} }

Posté par
sgu35re : racines nièmes de l'unité 10-06-21 à 09:53

l'équivalence est fausse?
si z=e^{i\pi/\sqrt{2}},  alors  |z|=1  et  |z|^n=1^n=1

Posté par
GBZMre : racines nièmes de l'unité 10-06-21 à 09:59

Bonjour,

Euh ... je ne comprends pas bien.

Sylvieg, tu affirmes que l'énoncé  \forall z\in \C\ (|z|=1\Leftrightarrow |z|^n=1) est faux et que z = e^{i\frac{\pi}{\sqrt{2}} } en est un contre-exemple ???

Posté par
sgu35re : racines nièmes de l'unité 10-06-21 à 10:23

Pour moi l'équivalence |z^n|=1 \Longleftrightarrow |z|=1 est juste.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : racines nièmes de l'unité 10-06-21 à 10:31

Je n'avais pas vu les | \; | \;

Posté par
sgu35re : racines nièmes de l'unité 10-06-21 à 12:06

il ne faut pas oublier que pour tout z\in\C,|z^{n}|=|z|^{n}

Posté par
sgu35re : racines nièmes de l'unité 10-06-21 à 12:10

pour montrer que a^{n} = 1 \Longleftrightarrow a = 1
on pourrait justifier que la fonction puissance n sur les réels est bijective de [0;\inf[ sur [0;\inf[

Posté par
Sylvieg Moderateurre : racines nièmes de l'unité 10-06-21 à 12:25

La stricte monotonie sur [0;+[ suffit pour justifier \; a^{n} = 1 \Longleftrightarrow a = 1 .

Posté par
mousse42re : racines nièmes de l'unité 10-06-21 à 15:47

Salut,
On a aussi 1-a^n=(1-a)\sum_{i=0}^{n-1}a^i

Posté par
sgu35re : racines nièmes de l'unité 10-06-21 à 16:39

Citation :
La stricte monotonie sur [0;+[ suffit pour justifier a^{n} = 1 \Longleftrightarrow a = 1

et pas la continuité?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : racines nièmes de l'unité 10-06-21 à 18:05

La continuité ne sert pas.
Si une fonction f est strictement croissante sur [0;+[ et vérifie f(1) = 1
alors pour tout x de [0;+[ on a \; f(x) = 1 x = 1 .

Posté par
sgu35re : racines nièmes de l'unité 10-06-21 à 18:11

ok très juste, f(1)=1 et f(x)=1 n'admet aucune autre solution si la fonction puissance n est strictement croissante sur [0;+\infty[


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