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Niveau terminale
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raisonnement par récurrence

Posté par
jeansch
24-11-21 à 15:04

Bonjour,
J'ai un devoir sur la récurrence et je bloque sur certaines questions, le voilà :
Soit un la suite définie pour tout entier n par :
u0 = 1
un+1= 1/3un + 2/3n + 1

1) Calculer u1, u2, u3
u1= 4/3
u2=19/9
u3=82/27


2) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, un>0 (supérieur ou égal)
J'ai obtenu comme résultat :
uk+1> (supérieur ou égal) 2/3k+1> (supérieur ou egal)>0 (supérieur ou égal)


3a) En déduire que pour tout entier naturel n, un>(supérieur ou égal) 2/3n
Pas réussi cette question

b) Que peut-on en déduire sur la limité de la suite (un)?
pas réussi

4a) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, un=(1/3)n+n
b) On pose, pour tout entier naturel n, Sn=Eni=0ui= u0+u1+u2+...+un
Exprimer Sn en fonction de n
pas réussi

merci d'avance pour votre aide

Posté par
Panurge
re : raisonnement par récurrence 24-11-21 à 15:14

Bonjour jeansch

Il manque des parenthèses.
Selon ton écriture u_{n+1}=u_n+1 !
Peux-tu modifier?

Posté par
Panurge
re : raisonnement par récurrence 24-11-21 à 15:20

Au temps pour moi, j'avais lu u_n à  la place de n

Posté par
carpediem
re : raisonnement par récurrence 24-11-21 à 15:32

salut

certes mais c'est un raisonnement qui est demandé ... (le résultat est immédiat)

3a/ se déduit immédiatement du résultat intermédiaire de 2/

3b/ se déduit de 3a/ et d'un résultat de cours ... (comparaison)

4b/ se déduit de 4a/ : écrivant les premiers et derniers termes de S_n et en reconnaissant des suites particulières dont tu connais a somme des termes

...

Posté par
Panurge
re : raisonnement par récurrence 24-11-21 à 16:03

u0>\frac23
Supposons u_n>\frac23, il faut montrer que u_{n+1)>\frac23
Aucune difficulté
\frac{u_n}{3}>\frac{2n}{9}

u_{n+1}=\frac{u_n}{3}+\frac{2n}{3}+1>\frac{2n}{9}+\frac{2n}{3}+1> ...
et donc u_{n+1}>...

Posté par
jeansch
re : raisonnement par récurrence 24-11-21 à 17:35

Je pensais que pour la question 2 il fallait à nouveau effectuer un raisonnement par récurrence...

Je ne comprends pas votre aide Panurge

Posté par
philgr22
re : raisonnement par récurrence 24-11-21 à 17:38

Bonsoir ,
regarde bien la question on demande de deduire et non de demontrer...

Posté par
philgr22
re : raisonnement par récurrence 24-11-21 à 17:39

Tu parles de la question 3a je suppose?

Posté par
philgr22
re : raisonnement par récurrence 24-11-21 à 17:40

As tu rectifié ton raisonnement pour la 2?

Posté par
philgr22
re : raisonnement par récurrence 24-11-21 à 17:49

philgr22 @ 24-11-2021 à 17:38

Bonsoir ,
regarde bien la question on demande de deduire et non de demontrer...

Du moins deduire signifie une demonstration rapide...

Posté par
jeansch
re : raisonnement par récurrence 24-11-21 à 18:36

Oui, je parle bien de la question 3a)
Concernant la 2, j'ai modifié mon raisonnement.

Pour en revenir à la 3a)
J'ai démontré que la propriété était vraie pour uk+1 et que j'obtenais :
uk+1>2/3k+1
Donc si la propriété est vraie pour k+1, elle est forcément vraie pour le rang k, de ce fait, 2/3k est forcement toujours positif car on travaille avec des entiers naturels
on a :
un>2/3n >0
Ma déduction était-elle correcte ?

Posté par
philgr22
re : raisonnement par récurrence 24-11-21 à 18:41

C'est beaucoup plus simple :tu as montré quoi au 2?
D'autre part ,quel genre de nombre est n?

Posté par
jeansch
re : raisonnement par récurrence 24-11-21 à 18:45

Pour la 2) j'ai fait :
(je vous épargne toute la rédaction concernant un raisonnement par récurrence)
uk > 0
1/3uk > 0
1/3uk+2/3k > 2/3k
1/3uk+2/3k+1 > 2/3k +1

philgr22 @ 24-11-2021 à 18:41

C'est beaucoup plus simple :tu as montré quoi au 2?
D'autre part ,quel genre de nombre est n?

n sont des nombres positifs ?

Posté par
philgr22
re : raisonnement par récurrence 25-11-21 à 11:47

desolé :ne tiens pas compte de ma remarque : que deduis tu ensuite pour 3b?

Posté par
jeansch
re : raisonnement par récurrence 25-11-21 à 18:26

Je ne comprends toujours pas comment je suis censée obtenir ma réponse pour la 3a)...

Posté par
foq
re : raisonnement par récurrence 25-11-21 à 18:33

Bonjour Excusez de vous déranger . Je suis aussi en classe de terminale . Je pense qu'il n'a pas compris la question .

Dis nous la suite Converge t-elle. Si Oui , Expliquez ça limite . Grâce a la récurrence que ta fait .

Si j'ai faux corrigez moi !  

Posté par
philgr22
re : raisonnement par récurrence 25-11-21 à 18:34

As tu fait une recurrence ? Si oui qu'as tu supposé et qu'as tu montré?

Posté par
philgr22
re : raisonnement par récurrence 25-11-21 à 18:35

Bonjour foq :il parle de la question 3a ...

Posté par
foq
re : raisonnement par récurrence 25-11-21 à 18:40

D'accord merci pour l'information .

Je pense : -Il peut initialiser .
                        -Hérédité au rang Un+1 .
                        -Conclusion

Si j'ai faux corrigez moi !  

Posté par
jeansch
re : raisonnement par récurrence 25-11-21 à 18:41

Pour la 3a), non je n'ai pas fait de récurrence, je me demandais uniquement s'il fallait que j'en fasse une ou si j'avais moyen de le montrer autrement que un>2/3n

Posté par
philgr22
re : raisonnement par récurrence 25-11-21 à 18:45

ce que tu as fait est correct

Posté par
jeansch
re : raisonnement par récurrence 25-11-21 à 19:06

super, merci beaucoup!
Concernant la 3b) :
On a :
2/3 qui tend vers 2/3
n qui tend vers + l'infini
Donc la limite de la suite est + l'infini ?

Posté par
foq
re : raisonnement par récurrence 25-11-21 à 19:13

Pour la limite je pense que c'est faux le n il est passé où .

Si j'ai faux corrigez moi !  

Posté par
jeansch
re : raisonnement par récurrence 25-11-21 à 19:14

le "n" tend vers + l'inifni ?

Posté par
foq
re : raisonnement par récurrence 25-11-21 à 19:19

Non car limite de n tend ver +oo ; limite de 3 = 3 ; Par produit 3*+oo=+oo .

De plus , limit de 2=2 et par quotient limite de n tend vers +oo  2/(3n)=0

Si j'ai faux corrigez moi !  

Posté par
philgr22
re : raisonnement par récurrence 25-11-21 à 19:26

Ce n'est pas 2/3n mais (2/3)n..

Posté par
philgr22
re : raisonnement par récurrence 25-11-21 à 19:27

la limite est donc bien +

Posté par
foq
re : raisonnement par récurrence 25-11-21 à 19:30

D'accord , j 'ai pas vérifié les parenthèse .

Posté par
jeansch
re : raisonnement par récurrence 28-11-21 à 10:38

merci beaucoup pour votre aide, néanmoins, j'ai encore certains doutes,
pour la question 3a) de quelle suite faut-il que je détermine la limite ? Je pensais que c'était pour 2/3n mais je ne suis plus sûr...
Est ce que ce n'est pas plutôt pour un+1=1/3un+2/3n+1 ?

Ensuite, la question 4b), je suis complètement perdu, je ne comprends pas

Posté par
carpediem
re : raisonnement par récurrence 28-11-21 à 12:21

carpediem @ 24-11-2021 à 15:32

3b/ se déduit de 3a/ et d'un résultat de cours ... (comparaison)

4b/ se déduit de 4a/ : écrivant les premiers et derniers termes de S_n et en reconnaissant des suites particulières dont tu connais a somme des termes

...

Posté par
carpediem
re : raisonnement par récurrence 28-11-21 à 12:24

3a/ on ne te demande pas la limite (cest en 3b/) mais de comparer les nombres u_n et 2n/3 ...

ce qui se déduit de 2/ ...

PS : il vaut mieux écrire 2n/3 ou (2/3)n que 2/3n qui n'est pas clair ...



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