Bonjour,
J'ai un devoir sur la récurrence et je bloque sur certaines questions, le voilà :
Soit un la suite définie pour tout entier n par :
u0 = 1
un+1= 1/3un + 2/3n + 1
1) Calculer u1, u2, u3
u1= 4/3
u2=19/9
u3=82/27
2) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, un>0 (supérieur ou égal)
J'ai obtenu comme résultat :
uk+1> (supérieur ou égal) 2/3k+1> (supérieur ou egal)>0 (supérieur ou égal)
3a) En déduire que pour tout entier naturel n, un>(supérieur ou égal) 2/3n
Pas réussi cette question
b) Que peut-on en déduire sur la limité de la suite (un)?
pas réussi
4a) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, un=(1/3)n+n
b) On pose, pour tout entier naturel n, Sn=Eni=0ui= u0+u1+u2+...+un
Exprimer Sn en fonction de n
pas réussi
merci d'avance pour votre aide
salut
certes mais c'est un raisonnement qui est demandé ... (le résultat est immédiat)
3a/ se déduit immédiatement du résultat intermédiaire de 2/
3b/ se déduit de 3a/ et d'un résultat de cours ... (comparaison)
4b/ se déduit de 4a/ : écrivant les premiers et derniers termes de S_n et en reconnaissant des suites particulières dont tu connais a somme des termes
...
Je pensais que pour la question 2 il fallait à nouveau effectuer un raisonnement par récurrence...
Je ne comprends pas votre aide Panurge
Oui, je parle bien de la question 3a)
Concernant la 2, j'ai modifié mon raisonnement.
Pour en revenir à la 3a)
J'ai démontré que la propriété était vraie pour uk+1 et que j'obtenais :
uk+1>2/3k+1
Donc si la propriété est vraie pour k+1, elle est forcément vraie pour le rang k, de ce fait, 2/3k est forcement toujours positif car on travaille avec des entiers naturels
on a :
un>2/3n >0
Ma déduction était-elle correcte ?
Pour la 2) j'ai fait :
(je vous épargne toute la rédaction concernant un raisonnement par récurrence)
uk > 0
1/3uk > 0
1/3uk+2/3k > 2/3k
1/3uk+2/3k+1 > 2/3k +1
Bonjour Excusez de vous déranger . Je suis aussi en classe de terminale . Je pense qu'il n'a pas compris la question .
Dis nous la suite Converge t-elle. Si Oui , Expliquez ça limite . Grâce a la récurrence que ta fait .
Si j'ai faux corrigez moi !
D'accord merci pour l'information .
Je pense : -Il peut initialiser .
-Hérédité au rang Un+1 .
-Conclusion
Si j'ai faux corrigez moi !
Pour la 3a), non je n'ai pas fait de récurrence, je me demandais uniquement s'il fallait que j'en fasse une ou si j'avais moyen de le montrer autrement que un>2/3n
super, merci beaucoup!
Concernant la 3b) :
On a :
2/3 qui tend vers 2/3
n qui tend vers + l'infini
Donc la limite de la suite est + l'infini ?
Non car limite de n tend ver +oo ; limite de 3 = 3 ; Par produit 3*+oo=+oo .
De plus , limit de 2=2 et par quotient limite de n tend vers +oo 2/(3n)=0
Si j'ai faux corrigez moi !
merci beaucoup pour votre aide, néanmoins, j'ai encore certains doutes,
pour la question 3a) de quelle suite faut-il que je détermine la limite ? Je pensais que c'était pour 2/3n mais je ne suis plus sûr...
Est ce que ce n'est pas plutôt pour un+1=1/3un+2/3n+1 ?
Ensuite, la question 4b), je suis complètement perdu, je ne comprends pas
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