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Raisonnement par récurrence

Posté par
AyaSB
26-02-22 à 20:06

Bonsoir, j'ai besoin d'aide s'il vous plait pour réaliser l'exercice ci-dessous.
Soit la fonction f définie sur J=[0;+∞[ par f(x)=3-(1/x+1).
a) Calculer f' la fonction dérivée de f et en déduire le sens de variations de f sur J.
b) On considère la suite (Un) définie pour tout entier n par Un+1=f(Un) et U0=5. En utilisant le résultat de la question précédente, et en utilisant un raisonnement per récurrence, montrer que Un≥0 et déterminer le sens de variations de la suite (Un).
c) Démontrer que la suite (Un) converge.
d) Déterminer la limite L de cette suite.
(J'ai déjà fait la première question a)

Posté par
Leile
re : Raisonnement par récurrence 26-02-22 à 20:21

bonsoir,

tu as fait la question a)  : qu'as tu trouvé ?

Posté par
AyaSB
re : Raisonnement par récurrence 26-02-22 à 22:13

Pour a :
On a f est de la forme 1/u avec u=x+1 alors u'=1.
Donc f'(x)=1/(x+1)².
D'où f'(x)>0.
Ainsi f est strictement croissante sur J.

Posté par
Leile
re : Raisonnement par récurrence 26-02-22 à 22:23

OK,

tu peux completer ton tableau de variations avec les valeurs de f(0)  et la limite de f(x) quand x tend vers +oo..


b) montrer par récurrence que  Un >0
initialisation :   est ce que U0 est >0  ??
hérédité : pose   Un>0   et vois ce que ça donne pour  Un+1.

Posté par
AyaSB
re : Raisonnement par récurrence 26-02-22 à 22:51

Pour b:
Initialisation :
On a U0=5 donc U0≥0 et la proposition est vraie au rang n=0.
Hérédité :
Soit n un entier naturel.
Supposons que Un≥0 et montrons que Un+1≥0.
On a f(x)=3-(1/x+1).
Donc f(Un)=3-(1/Un+1)=3Un+2/Un+1
Et on a Un+1=f(Un).
D'où Un+1=3Un+2/Un+1.
Et on sait d'après l'hypothèse de récurrence que Un≥0.
Alors 3Un+2/Un+1≥0.
Ainsi Un+1≥0.
Conclusion :
Pour tout entier n, Un≥0.

Posté par
Leile
re : Raisonnement par récurrence 26-02-22 à 23:08

oui, ça me semble bien   (il manque des parenthèses ici, que tu auras sans doute mises sur ton papier..).

as tu rempli le tableau de variations ?   f(x)  varie entre ?   et ?

que penses tu du sens de variations de (Un) ?  

Posté par
AyaSB
re : Raisonnement par récurrence 26-02-22 à 23:23

f(x) varie entre 2 et 3.

Le sens de variations de la suite (Un) :
Pour tout entier n :
Un+1-Un=(3Un+2/Un+1)-Un=-Un²+2Un+2/Un+1.                          Le dénominateur est alors strictement positif, donc Un+1-Un est du signe du numérateur.  Le trinôme -x²+2x+2 a pour discriminant ∆=2²-4×(-1)×2=12 et pour racines 1-√3 et 1+√3 de sorte que -x²+2x+2 est négatif sur ]-∞;1-√3]∪[1+√3;+∞[.
(Je n'arrive pas à savoir si -x²+2x+2≤0 ou si -x²+2x+2≥0 pour x≥0).

Posté par
AyaSB
re : Raisonnement par récurrence 27-02-22 à 11:49

Bonjour
Je ne sais pas si la suite (Un) est croissante ou décroissante car je n'arrive pas à trouver si -Un²+2Un+2≤0 ou si -Un²+2Un+2≥0 pour tout entier n.

Posté par
Leile
re : Raisonnement par récurrence 27-02-22 à 12:14

bonjour,

(Je n'arrive pas à savoir si -x²+2x+2≤0 ou si -x²+2x+2≥0 pour x≥0).

l'expression est négative pour x  appartient à [1+√3;+∞[.

Je ne peux pas terminer avec toi aujourd'hui, désolée. Je vais demander qu'on me relaye.
Bon dimanche.

Posté par
AyaSB
re : Raisonnement par récurrence 27-02-22 à 12:55

D'accord.
Merci pour votre aide.

Posté par
malou Webmaster
re : Raisonnement par récurrence 27-02-22 à 13:10

Bonjour

utilise mieux que cela les questions préliminaires
U0=5
U1=17/6 < 5

U1 < U0

et tu as montré que f est une fonction croissante
que peux-tu en déduire pour U2 et U1 ?

Posté par
AyaSB
re : Raisonnement par récurrence 27-02-22 à 13:25

Bonjour
Je n'ai pas compris. Est-ce que mon raisonnement est faux ?
Pour répondre à la question b, il ne faut pas étudier le signe de Un+1-Un

Posté par
malou Webmaster
re : Raisonnement par récurrence 27-02-22 à 13:48

AyaSB @ 27-02-2022 à 13:25

Bonjour
Je n'ai pas compris. Est-ce que mon raisonnement est faux ?
Pour répondre à la question b, il ne faut pas on peut étudier le signe de Un+1-Un


oui, on peut ! mais vu les questions précédentes, avec ce qu'on t'a fait faire, la récurrence va être immédiate

pour ma réponse de 13h10, tu devrais revoir la définition d'une fonction croissante, la réponse est alors immédiate

Posté par
AyaSB
re : Raisonnement par récurrence 27-02-22 à 13:55

Initialisation :
On a U0=5 et U1=3*U0+2/U0+1=2*5+2/5+1=17/6 donc U1≤U0.
Hérédité :
Supposons que pour k un entier naturel, on ait Uk+1≤Uk alors f(Uk+1)≤f(Uk) car f est croissante.
Donc Uk+2≤Uk+1.
Conclusion :
Ainsi pour tout entier n,  Un+1≤Un. La suite (Un) est donc décroissante.

Posté par
malou Webmaster
re : Raisonnement par récurrence 27-02-22 à 14:02

bravo !

Posté par
AyaSB
re : Raisonnement par récurrence 27-02-22 à 14:06

Merci.
Pour c :
On a la suite (Un) est décroissante et minorée par 0.
Donc d'après le théorème de la convergence monotone, la suite (Un) converge.
Pour d, je ne sais pas comment il faut procéder.

Posté par
malou Webmaster
re : Raisonnement par récurrence 27-02-22 à 14:15

OK
je ne l'ai pas dit pour le moment, mais apprends à mettre tes parenthèses correctement

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q27 - Comment bien écrire une formule ?



d)
maintenant que tu sais que cette suite converge, vers disons L
la limite L est solution de f(L)=L puisque un+1=f(un) (en passant à la limite dans les deux membres)

Posté par
AyaSB
re : Raisonnement par récurrence 27-02-22 à 14:56

d) On a L=f(L)
Donc L=(3L+2)/(L+1).
D'où L²-2L-2=0.
Alors ∆=(-2)²-4×1×(-2)=12.
Ainsi L1=1+√3 et L2=1-√3.
Comme la suite (Un) est décroissante, la limite L de cette suite est L=1-√3.

Posté par
malou Webmaster
re : Raisonnement par récurrence 27-02-22 à 16:14

quel est le signe de 1 - 3 ?

Posté par
AyaSB
re : Raisonnement par récurrence 27-02-22 à 16:19

Négatif
1-√3=-0,73

Posté par
malou Webmaster
re : Raisonnement par récurrence 27-02-22 à 16:22

et crois-tu qu'une suite dont tous les termes sont positifs puisse avoir pour limite cette valeur ?

Posté par
AyaSB
re : Raisonnement par récurrence 27-02-22 à 16:26

Oui c'est vrai.
On a n un entier et Un≥0.
Donc L=1+√3.

Merci beaucoup pour votre aide.

Posté par
malou Webmaster
re : Raisonnement par récurrence 27-02-22 à 16:36

voilà



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