bonsoir,

tu as fait la question a)  : qu'as tu trouvé ?

Pour a :
On a f est de la forme 1/u avec u=x+1 alors u'=1.
Donc f'(x)=1/(x+1)².
D'où f'(x)>0.
Ainsi f est strictement croissante sur J.

OK,

tu peux completer ton tableau de variations avec les valeurs de f(0)  et la limite de f(x) quand x tend vers +oo..


b) montrer par récurrence que  U_n >0
initialisation :   est ce que U₀ est >0  ??
hérédité : pose   U_n>0   et vois ce que ça donne pour  U_n+1.

Pour b:
Initialisation :
On a U0=5 donc U0≥0 et la proposition est vraie au rang n=0.
Hérédité :
Soit n un entier naturel.
Supposons que Un≥0 et montrons que Un+1≥0.
On a f(x)=3-(1/x+1).
Donc f(Un)=3-(1/Un+1)=3Un+2/Un+1
Et on a Un+1=f(Un).
D'où Un+1=3Un+2/Un+1.
Et on sait d'après l'hypothèse de récurrence que Un≥0.
Alors 3Un+2/Un+1≥0.
Ainsi Un+1≥0.
Conclusion :
Pour tout entier n, Un≥0.

oui, ça me semble bien   (il manque des parenthèses ici, que tu auras sans doute mises sur ton papier..).

as tu rempli le tableau de variations ?   f(x)  varie entre ?   et ?

que penses tu du sens de variations de (Un) ?  

f(x) varie entre 2 et 3.

Le sens de variations de la suite (Un) :
Pour tout entier n :
Un+1-Un=(3Un+2/Un+1)-Un=-Un²+2Un+2/Un+1.                          Le dénominateur est alors strictement positif, donc Un+1-Un est du signe du numérateur.  Le trinôme -x²+2x+2 a pour discriminant ∆=2²-4×(-1)×2=12 et pour racines 1-√3 et 1+√3 de sorte que -x²+2x+2 est négatif sur ]-∞;1-√3]∪[1+√3;+∞[.
(Je n'arrive pas à savoir si -x²+2x+2≤0 ou si -x²+2x+2≥0 pour x≥0).

Bonjour
Je ne sais pas si la suite (Un) est croissante ou décroissante car je n'arrive pas à trouver si -Un²+2Un+2≤0 ou si -Un²+2Un+2≥0 pour tout entier n.

bonjour,

(Je n'arrive pas à savoir si -x²+2x+2≤0 ou si -x²+2x+2≥0 pour x≥0).

l'expression est négative pour x  appartient à [1+√3;+∞[.

Je ne peux pas terminer avec toi aujourd'hui, désolée. Je vais demander qu'on me relaye.
Bon dimanche.

D'accord.
Merci pour votre aide.

Bonjour

utilise mieux que cela les questions préliminaires
U₀=5
U₁=17/6 < 5

U₁ < U₀

et tu as montré que f est une fonction croissante
que peux-tu en déduire pour U₂ et U₁ ?

Bonjour
Je n'ai pas compris. Est-ce que mon raisonnement est faux ?
Pour répondre à la question b, il ne faut pas étudier le signe de Un+1-Un

Initialisation :
On a U0=5 et U1=3*U0+2/U0+1=2*5+2/5+1=17/6 donc U1≤U0.
Hérédité :
Supposons que pour k un entier naturel, on ait Uk+1≤Uk alors f(Uk+1)≤f(Uk) car f est croissante.
Donc Uk+2≤Uk+1.
Conclusion :
Ainsi pour tout entier n,  Un+1≤Un. La suite (Un) est donc décroissante.

bravo !

Merci.
Pour c :
On a la suite (Un) est décroissante et minorée par 0.
Donc d'après le théorème de la convergence monotone, la suite (Un) converge.
Pour d, je ne sais pas comment il faut procéder.

OK
je ne l'ai pas dit pour le moment, mais apprends à mettre tes parenthèses correctement

extrait de la FAQ du forum :

Q27 - Comment bien écrire une formule ?

Si vous ne savez pas ou ne souhaitez pas utiliser le LaTeX, il faut faire attention aux parenthèses lorsqu'on traduit une telle expression "en ligne" !

Exemple : prenons l'expression
Que faut-il écrire "en ligne" ?
A=2x-1/x-3 ? Non, ceci est égal à
A=2x-1/(x-3) ? Non, ceci est égal à
A=(2x-1)/x-3 ? Non, ceci est égal à
Il faut donc écrire : A=(2x-1)/(x-3)

D'ailleurs, c'est pareil sur une calculatrice ... Il ne faut pas oublier ces parenthèses, ou le calcul sera tout simplement faux.

Pensez, lorsque vous postez un énoncé sur le forum, à rajouter les parenthèses nécessaires pour que les autres membres puissent vous venir en aide sans avoir un doute sur l'expression donnée et sans devoir deviner ce que vous avez voulu écrire... Ainsi, chacun gagnera du temps.

d) On a L=f(L)
Donc L=(3L+2)/(L+1).
D'où L²-2L-2=0.
Alors ∆=(-2)²-4×1×(-2)=12.
Ainsi L1=1+√3 et L2=1-√3.
Comme la suite (Un) est décroissante, la limite L de cette suite est L=1-√3.

quel est le signe de 1 - 3 ?

Négatif
1-√3=-0,73

et crois-tu qu'une suite dont tous les termes sont positifs puisse avoir pour limite cette valeur ?

Oui c'est vrai.
On a n un entier et Un≥0.
Donc L=1+√3.

Merci beaucoup pour votre aide.

voilà