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Raisonnement par récurrence

Posté par
Mercator
25-09-22 à 21:39

Bonsoir, est ce que quelqu'un peux m'aider pour cette exercice s'il vous plaît .
1) Montrer que la suite (un) , définie pour tout entier naturel n par un = n^2+3n, est croissante.
2) Montrer que la suite (Vn), définie pour tout entier naturel n non nul par Vn= (1/4)^n n^2 , est décroissante.
3) La suite (Wn) est définie par W0 =1 et, pour tout entier naturel n, Wn+1 = 2wn-3.
Montrer par récurrence que la suite (Wn) est décroissante.

Posté par
Leile
re : Raisonnement par récurrence 25-09-22 à 21:43

bonsoir,

qu'as tu fait ?

Posté par
Mercator
re : Raisonnement par récurrence 25-09-22 à 21:48

J'ai que des brouillons mais j'arrive pas. Premièrement la une je sais juste que c ps par récurrence

Posté par
Leile
re : Raisonnement par récurrence 25-09-22 à 21:53

pour montrer qu'une suite est croissante ou décroissante,
tu peux regarder le signe de   Un+1  -  Un
tu sais que Un =  n² + 3n
exprime Un+1 ..

Posté par
Mercator
re : Raisonnement par récurrence 25-09-22 à 22:00

Alors Un+1=(n+1)^2 +3+1 c'est ça ?

Posté par
Leile
re : Raisonnement par récurrence 25-09-22 à 22:02

pas tout a fait

Un =  n² + 3n
si tu remplace (n)  par (n+1)
ca donne Un+1   =  (n+1)² + 3 (n+1)
développe et réduis,
puis écris Un+1 - Un = ....  

Posté par
Mercator
re : Raisonnement par récurrence 25-09-22 à 22:08

Ah ok merci donc un+1=n^2+1^2+3n+4
A la fin c'est Un+1-un= 4n^2+5 c'est ça ?

Posté par
Leile
re : Raisonnement par récurrence 25-09-22 à 22:12

Mercator,
tu as oublié tes identités remarquables ?
(a+b)² = a² + 2ab + b²
donc    (n+1)² =  ??
ensuite, je ne vois pas comment tu aboutis à 4n² + 5
rectifie ta réponse  et montre moi le détail de ce que tu écris.

Posté par
Mercator
re : Raisonnement par récurrence 25-09-22 à 22:20

Ah oui du coup on fait un+1=(n+1)^2+3(n+1)
Un+1= n^2+2n+1+3n+1
Un+1-un= n^2+5n+2

Posté par
Mercator
re : Raisonnement par récurrence 25-09-22 à 22:34

Est ce que c bon svp ?

Posté par
Leile
re : Raisonnement par récurrence 25-09-22 à 22:36

sois plus rigoureux, ce calcul est plutot simple..
Un+1 =  (n+1)²  +  3(n+1)
= n² + 2n +1  + 3n + 3
= n² + 5n + 4

donc Un+1  -  Un =  ??

Posté par
Mercator
re : Raisonnement par récurrence 25-09-22 à 22:39

n^2+5n+3 donc la suite un est croissante ou faut factoriser ?

Posté par
Mercator
re : Raisonnement par récurrence 25-09-22 à 22:39

4*

Posté par
Leile
re : Raisonnement par récurrence 25-09-22 à 22:46

mais non, tu recopies ton erreur..
comme je te le disais, sois plus rigoureux !

Un+1  -  Un  =  (n² + 5n +4)  -  ( n² + 3n) = 2n + 4

n est >0  donc 2n+4 >0   et tu peux conclure que la suite est croissante.

Posté par
Leile
re : Raisonnement par récurrence 25-09-22 à 22:48

pour la q2, tu peux me confirmer l'énoncé ?

Vn =  (1/4)n * n²  ?  c'est bien ça ?
on ne t'indique pas de condition sur n ?

Posté par
Mercator
re : Raisonnement par récurrence 25-09-22 à 22:52

Ah ok merci beaucoup on passe à la 2) pour la 2) j'ai aucune idée pourriez vous m'aider me donner une piste svp

Posté par
Mercator
re : Raisonnement par récurrence 25-09-22 à 22:54

La question 2 c'est montrer que la suite (Vn), définie pour tout entier naturel n non nul par Vn= (1/4)^n  n^2 est décroissante.

Posté par
Leile
re : Raisonnement par récurrence 25-09-22 à 23:00

et bien, fais la même chose que pour la 1)

ecris   Vn+1, en faisant bien attention cette fois,
puis   Vn+1  -   Vn

Posté par
Mercator
re : Raisonnement par récurrence 25-09-22 à 23:06

Vn+1=(1/4)^n+1 x(n+1)^2
Vn+1=(1/4)^n+1 x n^2+2n+1 c bon ? Après je ne sais pas

Posté par
Leile
re : Raisonnement par récurrence 25-09-22 à 23:12

sans parenthèses, non, ça n'est pas bon.

Vn+1 = (1/4)(n+1) * ( n^2+2n+1)

Vn+1  -  Vn   =  ( (1/4)(n+1) * ( n^2+2n+1) ) - ( '1/4)n * n²  )

factorise : tu peux mettre (1/4)^n  en facteur.

Posté par
Mercator
re : Raisonnement par récurrence 25-09-22 à 23:16

Donc Vn+1-Vn= 1/4(n+1) x n^2+2n+1-n x n^2

Posté par
Leile
re : Raisonnement par récurrence 25-09-22 à 23:22

Mercator,
quand vas tu te décider à mettre des parenthèses ?
ta réponse est illisible.
ou est passé le (1/4)n  de Vn ?
sois plus rigoureux, stp

reprends
Vn+1   -   Vn  =  ??

Posté par
Mercator
re : Raisonnement par récurrence 25-09-22 à 23:24

Vn+1-vn= 1/4(n+1 x n^2 + 2n +1-n x n^2) comme cela ?

Posté par
Leile
re : Raisonnement par récurrence 25-09-22 à 23:25

je  t'ai donné   Vn+1  -  Vn ,   il faut maintenant factoriser an mettant (1/4)^n   en facteur.

Vn+1  -  Vn   =  ( (1/4)(n+1) * ( n^2+2n+1) ) - ( (1/4)n * n²  )

Vn+1  -  Vn  =  (1/4)n [ (..... )  - (...)  ]

Posté par
Mercator
re : Raisonnement par récurrence 25-09-22 à 23:29

Vn+1-vn= (1/4)^n [(n^2+3n +2)- n x n^2)]

Posté par
Leile
re : Raisonnement par récurrence 25-09-22 à 23:30

tu ne factorises pas correctement
sais tu que   (1/4)(n+1)  =  (1/4)n * (1/4)

donc
Vn+1  -  Vn   =  ( (1/4)n* (1/4)* ( n²+2n+1) ) - ( (1/4)n * n²  )
en rouge, le facteur commun  :

Vn+1  -  Vn   =   (1/4)n [(......) - (...)]
remplis les pointillés !

Posté par
Mercator
re : Raisonnement par récurrence 25-09-22 à 23:35

Donc Vn+1- Vn = (1/4)^n x [(1/4 x n^2+2n+1)- (n^2)]

Posté par
Leile
re : Raisonnement par récurrence 25-09-22 à 23:42

oui, avec des parenthèses !!

Donc Vn+1- Vn = (1/4)^n * [((1/4) * (n^2+2n+1)- (n^2)]
ce qui donne
Vn+1- Vn = (1/4)^n * [ (n²+2n+1- 4n²)/4]

Vn+1- Vn = (1/4)^n * [ (-3n²+2n+1)/4]

si tu étudies le signe de  -3n² + 2n +1  ,   tu pourras montrer que ce polynôme est négatif pour n>1
ce qui te permettra de conclure que Vn est décroissante.
OK ?

Posté par
Mercator
re : Raisonnement par récurrence 25-09-22 à 23:51

Il faut faire le tableau de signe même pour x1 on trouve 1 et x2  = -4

Posté par
Leile
re : Raisonnement par récurrence 25-09-22 à 23:54

on trouve  n1=1   et n2=-4
le polynôme est négatif à l'exterieur des racines, et n est positif dans notre cas
donc, le polynôme est négatif quand n> 1

Posté par
Mercator
re : Raisonnement par récurrence 25-09-22 à 23:57

Donc c'est décroissant on passe au 3) la suite (Wn) est définie par w0 =1 et, pour tout entier naturel n, Wn+1= 2 Wn-3.
Montrer par récurrence que la suite (Wn) est décroissante

Posté par
Leile
re : Raisonnement par récurrence 26-09-22 à 00:01

oui, c'est l'énoncé.
Et toi, que vas tu faire ?

par récurrence : que penses tu de l'initialisation ?
ne peux tu pas montrer que W1  est inférieur à  W0 ?

Posté par
Mercator
re : Raisonnement par récurrence 26-09-22 à 00:04

J'arrive pas à faire l'initialiserions pouvez vous m'expliquer s'il vous que dois je faire ?

Posté par
Leile
re : Raisonnement par récurrence 26-09-22 à 00:07


je t'ai dit quoi faire "ne peux tu pas montrer que W1  est inférieur à  W0 ?"

alcule W1,   et compare à W0 !

Posté par
Mercator
re : Raisonnement par récurrence 26-09-22 à 00:16

W1 =2 x 1-3
W1=2-3=-1 donc w1 est inférieur que w0 qui est égale à 1

Posté par
Leile
re : Raisonnement par récurrence 26-09-22 à 00:19

ok, tu as donc initialisé
W1  <  W0

hérédité :
on pose    Wn+1  <  Wn    ==>     Wn+1 -  Wn < 0
et on va montrer  qu'alors    Wn+2  -  Wn+1    < 0

exprime Wn+1    et  Wn+2
vas y !

Posté par
Mercator
re : Raisonnement par récurrence 26-09-22 à 00:22

Juste c quoi Wn svp ?

Posté par
Mercator
re : Raisonnement par récurrence 26-09-22 à 00:29

2wn-3<1     2wn-3-1<0

Posté par
Leile
re : Raisonnement par récurrence 26-09-22 à 00:29

je ne comprends pas ta question..

on a  Wn+1 = 2Wn-3

alors Wn+2 =  2 Wn+1  - 3

ecris maintenant
Wn+2   -  Wn+1  =  ??

Posté par
Mercator
re : Raisonnement par récurrence 26-09-22 à 00:29

Après je sais pas c quoi Wn+2

Posté par
Mercator
re : Raisonnement par récurrence 26-09-22 à 00:31

2Wn+1-3 -2Wn-3
=4Wn+1+6

Posté par
Mercator
re : Raisonnement par récurrence 26-09-22 à 00:32

C bon ?

Posté par
Leile
re : Raisonnement par récurrence 26-09-22 à 00:43

c'est faux parce que tu ne mets pas de parenthèses !
Je ne sais pas comment te le dire, il faut mettre des parenthèses !!
tu es en terminale, pourquoi ne mets tu pas de parenthèses ?

Wn+2   -  Wn+1  =  (2 Wn+1  - 3) - (2Wn-3)
= 2 Wn+1   - 2Wn
=  2  (  Wn+1  - Wn)
or   tu as posé    Wn+1  - Wn < 0

donc  2  (  Wn+1  - Wn) < 0
et  Wn+2   -  Wn+1  < 0

ta récurrence est finie.
tu peux conclure pour le sens de variation de la suite.

Je te laisse regarder ça posément et le refaire seul, en gardant des parenthèses le plus longtemps possible.  enlève les au dernier moment, quand tu développes et réduis.

Je vais dormir.
Bonne nuit.

Posté par
Mercator
re : Raisonnement par récurrence 26-09-22 à 00:44

Mercii beaucoup pour votre aide Bonne nuit à vous aussi



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