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Raisonnement par récurrence

Posté par Tchoug (invité) 18-09-06 à 17:47

Bonjour tout le monde, j'ai un exercice à faire en mathématiques mais je suis bloquée lors de la 2eme étape de la démonstration par récurrence: Voilà l'exercice :
Soit Pn : "3^n >(ou=) 2^n + 5n²"
Démontrez que pour tout entier n, n >(ou=) 5, Pn est vraie.
Donc pour la 1ere étape (initialisation) pas de problème j'arrive bien à démontrer que Pn est vraie

Mais pour la 2ème étapes : Lorsqu'il faut prouver que Pn est héréditaire (Si Pp vraie alors Pp+1 vraie je bloque :
j'écris : On suppose que Pp vraie: 3^p >(ou=) 2^p + 5p² donc je mutiplie par 3 pour obtenir :
  3^(p+1) >(ou=) 3(2^p + 5p²).

Après j'essaye de comparer 3(2^p + 5p²) avec 2^(p+1) + 5(p+1)² pour établir un lien entre 3^(p+1) et 2^(p+1) + 5(p+1)² (résultat que l'on doit obtenir pour Pp+1 et prouver que Pn est héréditaire). Le problème c'est que lors de la "comparaison" les puissances me gènent et je ne peux pas avancer dans l'exercice.

Voilà, j'espère que j'ai été assez claire ; je vous remercie de votre aide par avance.

Posté par
Nofutur2
re : Raisonnement par récurrence 18-09-06 à 17:57

Pas évident !!
Je faerai comme toi (multiplication par 3) et je comparerai les termes deux à deux ..

Posté par Tchoug (invité)re : Raisonnement par récurrence 18-09-06 à 20:09

Quand tu dis : comparer les termes 2 à 2
tu veux dire comparer 3x2^p et 2^(p+1) ; 15p² et 5(p+1)² ??? Pour le 2ème couple je pense pouvoir mais dans le 1er il n'y a t-il pas un pb de puissance.
Merci en tout cas^^

Posté par
Nofutur2
re : Raisonnement par récurrence 18-09-06 à 20:12

non pour le premier c'est évident puisque 3>2... Pour le second , il faut poser l'inégalité, mais on s'en s ort..

Posté par Tchoug (invité)re : Raisonnement par récurrence 18-09-06 à 20:28

Merci bcp de ton aide bonne continuation



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