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Niveau école ingénieur
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Raisonnement Récurrence

Posté par
nanard2702 23-09-19 à 19:01

Bonjour à tous,

Je bloque complètement sur un exercice de Mathématiques
J'ai essayé plusieurs fois mais je n'arrive jamais à réussir l'hérédité.

Voir l'énoncé via la photo rattachée

Merci d'avance pour votre aide.
Bonne soirée à vous.

Quentin

** image supprimée **l'énoncé a été recopié en dessous***

Posté par
matheuxmatoure : Raisonnement Récurrence 23-09-19 à 19:03

bonsoir

normalement pas de photo d'énoncé

on écrit les formules à démontrer

Posté par
nanard2702re : Raisonnement Récurrence 23-09-19 à 19:05

Montrer que ∀n ∈N/ {0;1}→∑(k=1),(n)   1/k²>3n/(2n+1)

Posté par
malou Webmasterre : Raisonnement Récurrence 23-09-19 à 19:06

nanard2702, faut utiliser tout ce qu'on met à ta disposition pour écrire les maths

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q10 - Puis-je insérer des symboles mathématiques afin de faciliter la lecture de mon message ?



et en particulier le Ltx entouré

Raisonnement Récurrence

Posté par
matheuxmatoure : Raisonnement Récurrence 23-09-19 à 19:06

comment tu procèdes ?

Posté par
matheuxmatoure : Raisonnement Récurrence 23-09-19 à 19:12

entre balises LTX :


\forall n \in \mathbb{N}-\{0;1\} \: \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k^2}  > \dfrac{3n}{2n+1}

donne

\\ \forall n \in \mathbb{N}-\{0;1\} \: \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k^2}  > \dfrac{3n}{2n+1}

Posté par
nanard2702re : Raisonnement Récurrence 23-09-19 à 19:12

Inialisation :

U2= 1/1² + 1/2²  > 3x2/2x2+1
       = 5/4 > 6/5
       = 1,25 > 1,2 donc OK

Hypothèse :

Pour n fixé, on suppose que Pn est vraie

Hérédité :

Nous voulons montrer que : ∑(k=1),(n)    1/k²  >  3(n+1)/(2(n+1)+1)

Et là je bloque ...

Posté par
matheuxmatoure : Raisonnement Récurrence 23-09-19 à 19:14

écris déjà l'hypothèse correctement

et si tu passes au rang (n+1), la somme s'opère de k=1 à (n+1)

Posté par
nanard2702re : Raisonnement Récurrence 23-09-19 à 19:18

Hypothèse :

Pour n fixé, on suppose que \forall n \in \mathbb{N}-\{0;1\} \: \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k^2} > \dfrac{3n}{2n+1}

Hérédité :

Nous voulons montrer que \forall n \in \mathbb{N}-\{0;1\} \: \sum_{k=1}^{n+1} \dfrac{1}{k^2}  > \dfrac{3(n+1)}{2(n+1)+1}



Posté par
nanard2702re : Raisonnement Récurrence 23-09-19 à 19:19

Désolé j'ai du mal avec LTX...

Posté par
matheuxmatoure : Raisonnement Récurrence 23-09-19 à 19:20

comment passe-t-on de la somme de 1 à n à la somme de 1 à (n+1) ?

Posté par
nanard2702re : Raisonnement Récurrence 23-09-19 à 19:20

nanard2702 @ 23-09-2019 à 19:18

Hypothèse :

Pour n fixé, on suppose que \forall n \in \mathbb{N}-\{0;1\} \: \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k^2} > \dfrac{3n}{2n+1}

Hérédité :

Nous voulons montrer que \forall n \in \mathbb{N}-\{0;1\} \: \sum_{k=1}^{n+1} \dfrac{1}{k^2} > \dfrac{3(n+1)}{2(n+1)+1}




Posté par
matheuxmatoure : Raisonnement Récurrence 23-09-19 à 19:21

nanard2702 @ 23-09-2019 à 19:19

Désolé j'ai du mal avec LTX...


évidemment si tu ne mets pas de balises autour il ne comprend pas qu'il faut compiler en LaTeX

tu as une aide sommaire avec le bouton orange en haut à droite

Posté par
nanard2702re : Raisonnement Récurrence 23-09-19 à 19:22

matheuxmatou @ 23-09-2019 à 19:20

comment passe-t-on de la somme de 1 à n à la somme de 1 à (n+1) ?


En ajoutant un terme de plus :

1/1² + 1/2² + ... + 1/n² + 1/(n+1)²

Posté par
matheuxmatoure : Raisonnement Récurrence 23-09-19 à 19:23

bon d'accord
alors avec l'hypothèse de récurrence

\sum{k=1}^{n+1} \dfrac{1}{k^2} = \sum{k=1}^{n} \dfrac{1}{k^2} + ...?... > ...?...

Posté par
matheuxmatoure : Raisonnement Récurrence 23-09-19 à 19:23

moi aussi j'ai cafouillé

matheuxmatou @ 23-09-2019 à 19:23

bon d'accord
alors avec l'hypothèse de récurrence

\sum_{k=1}^{n+1} \dfrac{1}{k^2} = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k^2} + ...?... > ...?...

Posté par
nanard2702re : Raisonnement Récurrence 23-09-19 à 19:28

\forall n \in \mathbb{N}-\{0;1\} \: \sum_{k=1}^{n+1} \dfrac{1}{k^2} > \: \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k^2} + \: \sum_{k=n}^{n+1} \dfrac{1}{k^2} > \dfrac{3n}{2n+1}

Posté par
matheuxmatoure : Raisonnement Récurrence 23-09-19 à 19:29

faut réfléchir un peu à ce qu'on écrit aussi... relis !

Posté par
carpediemre : Raisonnement Récurrence 23-09-19 à 19:30

salut

nanard2702 @ 23-09-2019 à 19:20

Hypothèse :

Pour n fixé, on suppose que {\red \forall }  n \in \mathbb{N}-\{0;1\} \: \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k^2} > \dfrac{3n}{2n+1}

Hérédité :

Nous voulons montrer que {\red \forall }  n \in \mathbb{N}-\{0;1\} \: \sum_{k=1}^{n+1} \dfrac{1}{k^2} > \dfrac{3(n+1)}{2(n+1)+1}
si c'est vrai pour tout n alors c'est vrai pour tout n et donc pour tout successeur de n ...

Posté par
nanard2702re : Raisonnement Récurrence 23-09-19 à 19:31

\forall n \in \mathbb{N}-\{0;1\} \: \sum_{k=1}^{n+1} \dfrac{1}{k^2} = \: \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k^2} + \: \sum_{k=n}^{n+1} \dfrac{1}{k^2} > \dfrac{3n}{2n+1}

Posté par
matheuxmatoure : Raisonnement Récurrence 23-09-19 à 19:33

carpediem
bien vu
il a copié collé mon texte LTX et n'a pas supprimé le "\forall"

Posté par
matheuxmatoure : Raisonnement Récurrence 23-09-19 à 19:34

nanard2702 @ 23-09-2019 à 19:31

\forall n \in \mathbb{N}-\{0;1\} \: \sum_{k=1}^{n+1} \dfrac{1}{k^2} = \: \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k^2} + \: \sum_{k=n}^{n+1} \dfrac{1}{k^2} > \dfrac{3n}{2n+1}


non qu'on te dit :

1 : le "quelque soit" devant est une hérésie
2 : tes sommes sont à revoir
3 : ton minorant est à revoir

faut apprendre à rediger une récurrence

Posté par
nanard2702re : Raisonnement Récurrence 23-09-19 à 19:48

Si je demande c'est justement parce que j'ai du mal et que je ne comprends pas.

Posté par
matheuxmatoure : Raisonnement Récurrence 23-09-19 à 23:19

ben quand même ! le raisonnement par récurrence ....

supposons que pour un certain entier n supereur ou égal à deux on ait ...

Posté par
malou Webmasterre : Raisonnement Récurrence 24-09-19 à 07:47

bonjour
ça peut servir !
Le raisonnement par récurrence : principe et exemples rédigés

Posté par
nanard2702re : Raisonnement Récurrence 24-09-19 à 13:08

matheuxmatou @ 23-09-2019 à 23:19

ben quand même ! le raisonnement par récurrence ....

supposons que pour un certain entier n supereur ou égal à deux on ait ...


Je sors actuellement de BTS et justement la récurrence est quelque chose de nouveau pour moi

Posté par
nanard2702re : Raisonnement Récurrence 24-09-19 à 20:26

matheuxmatou @ 23-09-2019 à 23:19

ben quand même ! le raisonnement par récurrence ....

supposons que pour un certain entier n supereur ou égal à deux on ait ...


Montrons que :

\sum_{k=1}^{n+1}{\frac{1}{k²}}=\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{k²}}+\frac{1}{(n+1)²}\geq \frac{3n}{2n+1}+\frac{1}{(n+1)²}

Posté par
matheuxmatoure : Raisonnement Récurrence 25-09-19 à 00:02

ça on le sait, c'est l'hypothèse de récurrence et la définition de la suite

reste à montrer que le terme de droite est bien supérieur à   \dfrac{3(n+1)}{2(n+1)+1}

Posté par
nanard2702re : Raisonnement Récurrence 25-09-19 à 20:00

matheuxmatou @ 25-09-2019 à 00:02

ça on le sait, c'est l'hypothèse de récurrence et la définition de la suite

reste à montrer que le terme de droite est bien supérieur à   \dfrac{3(n+1)}{2(n+1)+1}


Initialisation :

Pour n = 2         1/1²+1/4 = 5/4
                                3x2/2x2+1  = 6/5  donc inégalité vraie pour n=2

Hypothèse :

Pour n fixé, supposons que l'inégalité est vraie : \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k^2} > \dfrac{3n}{2n+1}

Montrons que l'inégalité est vraie au rang n+1 : \sum_{k=1}^{n+1} \dfrac{1}{k^2} > \dfrac{3(n+1)}{2(n+1)+1}

Hérédité :

\sum_{k=1}^{n+1} \dfrac{1}{k^2} = \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k²}+\frac{1}{(n+1)²}>\frac{3(n+1)}{2(n+1)+1}
\sum_{k=1}^{n+1} \dfrac{1}{k^2} = \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k²}+\frac{1}{(n+1)²}>\frac{3n+3}{2n+3}

Or d'après l'hypothèse de récurrence  : \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k^2} > \frac{3n}{2n+1}

On a aussi : \frac{3n}{2n+1} + \frac{1}{(n+1)²} > \frac{3n+3}{2n+3}

Conclusion :

L'hypothèse de récurrence est vraie au rang n+1


Est-ce que cette récurrence est juste ? ou des choses sont à changer ?
Merci

Posté par
matheuxmatoure : Raisonnement Récurrence 26-09-19 à 09:18

tu confonds ce qu'on a et ce qu'on veut montrer

il faudrait prouver l'inégalité qui suit "on a aussi ...."

Posté par
nanard2702re : Raisonnement Récurrence 26-09-19 à 12:21

matheuxmatou @ 26-09-2019 à 09:18

tu confonds ce qu'on a et ce qu'on veut montrer

il faudrait prouver l'inégalité qui suit "on a aussi ...."


Je comprends ce que vous voulez dire, en gros tous ce que j'ai fait on le sait déjà. Il me reste à prouver ce que j'ai écris
C'est ainsi que je bloque depuis 3 jours dessus...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Raisonnement Récurrence 26-09-19 à 17:18

Bonjour nanard2702,

Tu veux démontrer \; \frac{3n}{2n+1} + \frac{1}{(n+1)²} > \frac{3n+3}{2n+3}

Une méthode souvent efficace pour démontrer \; A > B \; :
Etudier le signe de la différence \; A-B .

Posté par
nanard2702re : Raisonnement Récurrence 26-09-19 à 18:57

Sylvieg @ 26-09-2019 à 17:18

Bonjour nanard2702,

Tu veux démontrer \; \frac{3n}{2n+1} + \frac{1}{(n+1)²} > \frac{3n+3}{2n+3}

Une méthode souvent efficace pour démontrer \; A > B \; :
Etudier le signe de la différence \;  A-B .


(\frac{3n}{2n+1}+\frac{1}{(n+1)²})-(\frac{3n+3}{2n+3})
(\frac{3n(n-+1)²+(2n+1)}{(2n+1)(n+1)²})-(\frac{3n+3}{2n+3})
\frac{3n^3+6n²+5n+1}{(2n+1)(n+1)²}-(\frac{3n+3}{2n+3})

Est-ce que je dois tout développer ou non ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Raisonnement Récurrence 26-09-19 à 19:06

J'aurais commencé par \; \frac{3n}{2n+1}-\frac{3n+3}{2n+3}
En y mettant 3 en facteur d'abord.

Posté par
nanard2702re : Raisonnement Récurrence 26-09-19 à 19:44

Sylvieg @ 26-09-2019 à 19:06

J'aurais commencé par \; \frac{3n}{2n+1}-\frac{3n+3}{2n+3}
En y mettant 3 en facteur d'abord.


3(\frac{n}{2n+1}+\frac{1}{2n+3})+\frac{1}{(n+1)²}>0

Comme ceci ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Raisonnement Récurrence 26-09-19 à 20:32

Il y a un moins quelque part.
Et 31 n'est pas égal à 3n+3 ...

Posté par
nanard2702re : Raisonnement Récurrence 26-09-19 à 20:35

Sylvieg @ 26-09-2019 à 20:32

Il y a un moins quelque part.
Et 31 n'est pas égal à 3n+3 ...


3(\frac{n}{2n+1}-\frac{n+1}{2n+3})+\frac{1}{(n+1)^2}>0

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Raisonnement Récurrence 26-09-19 à 20:39

Enlève ce ">0". Tu le mettras quand ce sera démontré.
La parenthèse devient très simple après réduction au même dénominateur.

Posté par
nanard2702re : Raisonnement Récurrence 26-09-19 à 20:47

3(\frac{2n^2+3n-2n^2-1}{(2n+1)(2n+3)})+\frac{1}{(n+1)^2}

3(\frac{3n-1}{(2n+1)(2n+3)})+\frac{1}{(n+1)^2}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Raisonnement Récurrence 26-09-19 à 21:17

Non, le numérateur est encore plus simple.
Développe correctement (2n+1)(n+1).

Posté par
nanard2702re : Raisonnement Récurrence 26-09-19 à 21:28

-((2n+1)(n+1))
-(2n^2+2n+n+1)
-2n^2-3n-1

Donc

3(\frac{2n^2+3n-2n^2-3n-1}{(2n+1)(2n+3)})+\frac{1}{(n+1)^2}

3(\frac{-1}{(2n+1)(2n+3)})+\frac{1}{(n+1)^2}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Raisonnement Récurrence 26-09-19 à 21:32

Termine maintenant.

Posté par
nanard2702re : Raisonnement Récurrence 27-09-19 à 07:25

Sylvieg @ 26-09-2019 à 21:32

Termine maintenant.


Si n>0 alors ce calcul est aussi >0

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Raisonnement Récurrence 27-09-19 à 07:36

Ce n'est pas démontré. Ton expression est de la forme 3D + E avec D<0 et E>0.
Il y a encore du travail à faire.

Posté par
nanard2702re : Raisonnement Récurrence 27-09-19 à 12:55

3(\frac{-1}{(2n+1)(2n+3)})+\frac{1}{(n+1)^2}  =  3D+E >0  avec D<0 et E>0

On veut montrer que 3D+E>0
Donc si E-3D > 0 alors E>3D donc 3D+E>0

E-3D :

\frac{1}{(n+1)^2}-3(\frac{-1}{(2n+1)(2n+3)})
\frac{1}{(n+1)^2}+\frac{3}{(2n+1)(2n+3)} donc pour n appartenant N \{0;1} E-3D>0 donc 3D+E>0

Soit : 3(\frac{-1}{(2n+1)(2n+3)}+\frac{1}{(n+1)^2}>0

Conclusion :

L'inégalité est vraie au rang n+1

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Raisonnement Récurrence 27-09-19 à 18:11

Tu as écrit n'importe quoi.
Réduis au même dénominateur 3(\frac{-1}{(2n+1)(2n+3)})+\frac{1}{(n+1)^2}

Posté par
nanard2702re : Raisonnement Récurrence 27-09-19 à 19:12

Sylvieg @ 27-09-2019 à 18:11

Tu as écrit n'importe quoi.
Réduis au même dénominateur  3(\frac{-1}{(2n+1)(2n+3)})+\frac{1}{(n+1)^2}


Je comprends plus rien, cet exercice n'est pas fait pour moi. Je n'ai jamais fais de récurrence jusqu'a maintenant.
Merci à tous ceux qui m'ont répondu.

Posté par
nanard2702re : Raisonnement Récurrence 27-09-19 à 19:15

J'obtient

\frac{n²+2n}{(2n+1)(2n+3)(n+1)²}

Posté par
nanard2702re : Raisonnement Récurrence 27-09-19 à 19:16

Mais je ne sais plus quoi faire après...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Raisonnement Récurrence 27-09-19 à 19:17

Tu ne vois pas pourquoi c'est positif ?

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