salut

raisonne en terme de morphismes

X est la matrice d'un morphisme u de K^p dans Kⁿ
X' est la matrice d'un morphisme v de Kⁿ dans K^p

X'X est la matrice de v o u
XX' est la matrice de u o v

et on sait que rang X = rang u = Dim (Im u)

...

merci pour la réponse

Je vais essayer de comprendre en utilisant votre proposition (ça me pousse à revoir d'autre parties du cours!)

je vous tiendrai au courant

Voilà ce que j ai pu collecter

X'X : matrice de u o v   (pxp)
XX': matrice associée de v o u   (nxn)

et donc en supposant que les rangs de u et v sont finis , on a:
rg (u o v) inférieur ou égal à min (rg u; rg v)
et rg (v o u ) inférieur ou égal à min(rg u; rg v)

ainsi rang des 2 matrices (X'X et XX') est inférieur ou égal au min (rg X'X , rg XX')

mais je vois pas dans  tout cela un début d'explication dans la proposition qui dit :
si rg X'X = r alors rg XX' = r et rg X = r

merci encore

Une idée

En identifiant une matrice à son endomorphisme canoniquement associé comme le suggère carpediem on peut penser à examiner les noyaux (étroitement liés aux rangs par le théorème du rang)

ce qui veut dire que

merci pour la réponse

deux précisions si possible:
c 'est bien le produit scalaire que vous utilisez
si  oui comment on passe de (avec la notation que je connais du produit scalaire)
X'Xx.x =0 à Xx.Xx=0

en attendant je pense avoir (en partie) compris

X'X étant symetrique on a:
X'Xx.x = (X'Xx)'x= x'X'Xx=( Xx)'Xx=Xx.Xx=0

d ou rg X'X = rg X

sauf que pour Rang X'X , il est different de rang XX'  une est nxn et l autre pxp
comme elles sont toutes les 2 symétriques  elles sont diagonalisables et donc l'une est de rang n et lautre de rg p
corrigez moi si je me trompe

et merci encore

C'est la définition même du transposé (adjoint) d'un endomorphisme d'un espace euclidien

il reste aussi 2 choses pas claires pour moi
1/ X'X est une matrice pxp  tandis que X est une nxp alors qu on deduit qu elles ont meme rang

2/ pour les 2 matrices symétriques , elles ne sont pas necessairement de même rang ?

Tu connais le théorème du rang ?

tu veux parler de u application lineaire de E ds F on a Dim E = Rg u  + dim ker u

Exactement

et ont même espace de départ non ?

d accord c vrai donc rg (départ )= p   et rg u = rg X'X= rgX = p - dim ker u

par contre il reste la question du rg des 2 matrices X'X et XX', il n est pas égal?

par une approche analogue :





d'où et par le théorème du rang soit


il te reste maintenant à voir (pour conclure) que _{c'est un résultat classique sauf erreur}

Merci

pour la dernière on le demontre en passant par une matrice semblable Dr ( contenat  bloc Ir et 3 autres blocs = 0)  et des matrices de passage d où:




et sont toutes les 2 semblables à Dr (car Dr et sa transposé ont même rg r) d où le résultat recherché :

Oui et c'est plutôt "équivalentes" au lieu de ""semblables"