ok je développes (pi/2 + 2kpi) je fait comment  ?

Tu écris
x = (pi/2)/2 + 2kpi/2 - 2pi/3 ,
tu simplifies et tu réunis le premier et le dernier termes du second membre.

x = (pi/2)/2 + 2kpi/2 - 2pi/3

x = pi/4 + 2kpi - 2pi/3

x = pi3/12 - 2pi4/12  

1ère ligne : exacte.
2ème ligne aussi, sauf que 2kpi/2 est devenu 2kpi . . .
3ème ligne : oui; il faut maintenant réunir les deux fractions en une seule et rétablir le 2kpi oublié.

x = (pi/2)/2 + 2kpi/2 - 2pi/3

x = pi/4 + 2kpi*2- 2pi/3

x = - 5pi/12 + 2kpi*2

2kpi/2 est devenu 2kpi*2 (??).
Simplifie 2kpi/2 .

ok j'avais pas compris qu' il fallait simplifité

2kpi/2 = 1kpi ?

Le plus souvent, quand on peut simplifier, il faut le faire.
L'équation
2(x + 2pi/3) = pi/2 + 2kpi
a donc pour solutions
x = - 5pi/12 + kpi .
Mais ce n'est qu'une première série de solutions car (rappel) :
cos a = cos b  --->  a = b + 2kpi .
L'équation que tu viens de résoudre correspondait au signe + .
Il s'agit maintenant de résoudre l'équation correspondant au signe  - :
2(x + 2pi/3) = - pi/2 + 2kpi .
Cette seconde équation ressemble beaucoup à la première et j'espère que tu sauras la résoudre sans aide. Tu montreras ton résultat.

ok d'accord

2(x + 2pi/3) = - pi/2 + 2kpi .  

x + 2pi/3 = -pi + 4kpi /4          ( J'ai diviser par 2 )

c'est bon pour l'instant ?

Non.
Tu as bien divisé par 2 à gauche, mais tu as multiplié par 2 à droite.
C'est comme si tu disais
2 pommes coûtent 2 francs
1 pomme coûte 4 francs
Alors que c'est:
1 pomme coûte 1 franc

Il faut faire la même chose des deux côtés.

Ça marche aussi avec des €...

ok d'accord comme cela ?

2(x + 2pi/3) = - pi/2 + 2kpi

x + 2pi/3 = -pi + 8kpi

Non. C'est encore pire.
Tu as encore multiplié pi/2 par 2.
Et le ponpon, tu as multiplié 2kpi par 4...

Oui je croyais qu'il fallait multiplier par 2.

2(x + 2pi/3) = - pi/2 + 2kpi

x + 2pi/3 = - pi /4 + kpi  

Oui. Continue.

2(x + 2pi/3) = - pi/2 + 2kpi

x + 2pi/3 = - pi /4 + kpi

x = kpi -11pi/12

Oui, c'est bon !

cos [2(x+2pi/3)]=0

2 (x + 2pi/3) = pi/2 + 2kpi  

x = (pi/2)/2 + 2kpi/2 - 2pi/3

x = pi/4 + kpi- 2pi/3

x = - 5pi/12 + kpi



2(x + 2pi/3) = - pi/2 + 2kpi

x + 2pi/3 = - pi /4 + kpi

x = kpi -11pi/12

C'est parfait.

Ok super je sais pas comment te remercier !! J'ai plusieurs exercices du même genre je vais m'entraîner au maximum.
Et si j'ai une question à propos d'un exercices, je peu te demande conseil ou pas ?

Voyons cela.

Salut est-ce que tu pourrais me vérifier cet équation stp ? merci d'avance

cotan² x = 1/3

cotan x =  √1/3                                                                  cotan x = - √1/3    
1/√3 = √3/√3                                                                           - 1/√3 = -√3/√3
cotan x = √3/3                                                                   cotan x = -√3/3

Solution : x = pi/3 + kpi                                             Solution : x = 2pi/3 + kpi          
                                                                              

C'est juste.